O ecuatie

[Mateescu Constantin]

Sa se rezolve in \( \mathbb{R} \) ecuatia: \( 3^{4x^3-3x}=\frac{2x}{4x^2+2x+1} \) .

[Marius Mainea]

\( f(x)=3^{4x^3-3x} \) este strict descrescatoare pe \( [0,\frac{1}{2}] \) si strict crescatoare pe \( [\frac{1}{2},\infty) \) iar \( g(x)=\frac{2x}{4x^2+2x+1} \) este strict crescatoare pe \( [0,\frac{1}{2}] \) si strict descrescatoare pe \( [\frac{1}{2},\infty) \).

Asadar \( x=\frac{1}{2} \) este solutie unica.

[Marius Perianu]

Cum \( 3^{4x^3-3x}>0 \), rezultă \( \frac{2x}{4x^2+2x+1}>0 \), de unde \( x>0 \). În aceste conditii rezulta imediat ca \( \frac{2x}{4x^2+2x+1} \leq \frac {1}{3} \), cu egalitate pentru \( x= \frac {1}{2} \). Ca urmare, \( 3^{4x^3-3x} \leq \frac {1}{3} \), deci \( 4x^3-3x \leq -1 \), echivalent cu \( (x+1)(2x-1)^2 \leq 0 \). În concluzie, solutia ecuatiei este \( x= \frac {1}{2} \).