Aplicatii ale CBS

[Marius Mainea]

In legatura cu problema 2, TST 2/2008 iata alte doua probleme propuse de Bogdan Enescu.

1. Daca \( x_1, x_2, ..., x_n \in \mathbb{R} \), atunci

\( \frac{x_1}{1+x_1^2}+\frac{x_2}{1+x_1^2+x_2^2}+...+\frac{x_n}{1+x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}<\sqrt{n} \)

2. Daca \( x_1, x_2, ..., x_n \) sunt numere pozitive, atunci

\( \frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_1+x_2}+...+\frac{1}{1+x_1+x_2+...+x_n}<\sqrt{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}} \)

ONM 2005

[Claudiu Mindrila]

Prima inegalitate este din lista scurta IMO, 2001. A se vedea urmatorul link.

[Laurentiu Tucaa]

Aceeasi prima inegalitate a fost data la locala in Arges in 2007
Si asta e ciudat ca o problema de nivel OIM este propusa la o locala de matematica.

[enescu]

Prima inegalitate este din lista scurta IMO, 2001. A se vedea urmatorul link.

Asa e. A fost propunerea Romaniei si foarte aproape de a fi aleasa in concurs. O interventie a liderului din Kazahstan (care a spus ca i se pare ca a mai vazut ceva similar, dar nu stie unde...) a facut ca problema sa fie eliminata. La votul initial, a fost cea mai apreciata problema.

[Cezar Lupu]

Aceeasi problema (problema 1) a aparut si in American Mathematical Monthly in 2009 propusa de un chinez.

[Laurentiu Tucaa]

Deci pana la urma cine este autorul?ca in arges daca imi aduc bine aminte era semnata de un cunoscut autor de inegalitati din arges ,evident poate doar a rezolvat-o sau chiar o fi propusa de dansul .chiar atunci in barem apareau 2 solutii ,amandoua avand la baza CBS

[DrAGos Calinescu]

Folosim inegalitatea CBS
\( \sum{a_k}\le\sqrt{n}\sqrt{\sum a_k^2} \) cu \( a_k=\frac{x_k}{1+\sum_{i=1}^k x_i^2} \)
Astfel tot ce ramane de demonstrat este
\( \sum{(\frac{x_k}{1+x_1^2+x_2^2+...x_k^2})^2<1 \)
Dar \( (\frac{x_k}{1+x_1^2+x_2^2+...x_k^2})^2\le\frac{x_k^2}{(1+x_1^2+...+x_{k-1}^2)(1+x_1^2+...+x_k^2)}=\frac{1}{1+x_1^2+...+x_{k-1}^2}-\frac{1}{1+x_1^2+...+x_k^2} \)
\( \Longrightarrow \sum{(\frac{x_k}{1+x_1^2+x_2^2+...x_k^2})^2\le 1-\frac{1}{1+x_1^2+...+x_n^2}<1 \)