O ecuatie cu parti fractionare si o inegalitate

[Kramer]

1. Sa se arate ca exista o infinitate de numere rationale x > 0 astfel incat {x^2} + {x} = 0,99.

2. Fie a, b, c - numere reale care satisfac relatia a^2 + b^2 + c^2 = 3. Sa se arate ca |a| + |b| + |c| - abc ≤ 4.

OJM 2004

[Marius Mainea]

La prima \( x=10k+\frac{13}{10} \), \( k\in\mathbb{Z} \) sunt solutii.

La a doua \( (|a|+|b|+|c|)^2\le3(a^2+b^2+c^2)=9 \), apoi \( \sqrt[3]{(abc)^2}\le\frac{a^2+b^2+c^2}{3}=1 \)

[Beniamin Bogosel]

La prima problema cred ca nu ar trebui dat numai asa raspunsul... Eu am participat la olimpiada aia si cred ca singura treaba care m-a facut sa nu iau 28 de puncte a fost faptul ca nu am stiut sa construiesc exemplul pentru ecuatie. Cred ca mai degraba ar trebui aratat in solutie un mod de gandire care conduce la gasirea solutiei. De exemplu, cautam solutii de forma \( ka+\frac{b}{c} \) cu \( a, b, c \) intregi si dupa ce inlocuim in ecuatie gasim ca putem lua \( a=10, b=13, c=10 \). Daca sunt date numai asa raspunsurile, singura reactie a elevilor va fi ca poate nu vor aborda prea mult probleme de genul asta pentru ca trebuie "ghicit" rezultatul.

[enescu]

Deoarece eu sunt autorul problemei cu partea fractionara, imi permit sa fac un comentariu: varianta initiala cerea determinarea tuturor solutiilor. Sunt 2 familii de solutii, una generata de fractia \( \frac{13}{10} \), anume \( x=5k+\frac{13}{10},k\in \mathbb{Z} \), cealalta de alta fractie (care? ). S-a considerat ca ar fi prea grea asa si s-a reformulat problema.