Concursul Matefbc editia a 2-a problema 3

[Andi Brojbeanu]

Fie \( a, b, c \) trei numere naturale nenule astfel incat:
\( \frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\geq \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{a^2}{c+a}+ \frac{b^2}{a+b}+ \frac{c^2}{b+c} \)
Sa se arate ca \( a=b=c \).

[moldovan ana]

Se utilizeaza inegalitatea Cebasev pt. 2 siruri de aceeasi monotonie ; astfel deoarece inegalitatea este invarianta la permutari circulare putem presupune fara a restrange generalitatea ca : a >= b >= c ceea ce conduce la a^2 >= b^2 >= c^2 care este primul sir si apoi (a + b) >= (a + c) >= (b + c) ceea ce conduce la al doilea sir : 1/(b+c) >= 1/(a + c) >= 1/(a + b)
Deci aplicand inegalitetea Cebasev obtinem o inegalitate in contradictie cu cea din enuntul problemei, deci ramane numai cazul a=b=c.