Se considera perechea de numere naturale \( (x, y) \) pentru care:
\( x^2-8^y=57 \).
a) Demonstrati ca \( y \) este numar par;
b) Demonstrati ca exista o singura pereche cu aceasta proprietate.
Constantin Barascu
Concursul Nicolae Paun editia 2009 subiectul II
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Andi Brojbeanu
- Bernoulli
- Posts: 294
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:31 pm
- Location: Targoviste (Dambovita)
a) \( 8^y=(9-1)^y=M_{3}+(-1)^y \)
Pentru \( y \) impar, avem \( x^2=M_{3}+2 \), fals. Rezulta ca \( y \) este par.
b) \( x^2=8^y+57 \)
Deoarece \( y \) este par rezulta \( 8^y \) este patrat perfect.
\( x^2-8^y=57 \)
\( (x-8^{\frac{y}{2}})(x+8^{\frac{y}{2}})=57 \)
De aici avem 2 cazuri, \( (1,57),(3,19) \), de unde obtinem doar cazul \( x=11, y=2 \).
Pentru \( y \) impar, avem \( x^2=M_{3}+2 \), fals. Rezulta ca \( y \) este par.
b) \( x^2=8^y+57 \)
Deoarece \( y \) este par rezulta \( 8^y \) este patrat perfect.
\( x^2-8^y=57 \)
\( (x-8^{\frac{y}{2}})(x+8^{\frac{y}{2}})=57 \)
De aici avem 2 cazuri, \( (1,57),(3,19) \), de unde obtinem doar cazul \( x=11, y=2 \).