O frumoasa problema cu numere complexe.

Virgil Nicula · Post by **Virgil Nicula** » Mon Dec 21, 2009 1:40 pm

Fie numerele intregi \( a \) , \( b \) , \( c \) si un numar complex \( z \) pentru care \( z^a+z^b+z^c+1=0 \). Sa se arate ca exista un numar natural \( n\ne 0 \) astfel incat \( z^n=1 \).

enescu · Post by **enescu** » Mon Dec 21, 2009 3:14 pm

wolframalpha.com imi arata ca ecuatia \( z^5+z^4+z^2+1=0 \) are una din radacini egala cu \( -1.57015.. \), care nu poate fi radacina a unitatii.

Virgil Nicula · Post by **Virgil Nicula** » Mon Dec 21, 2009 5:25 pm

Problema am extras-o de aici (problema 2). Poate nu am tradus corect ...

2. United we root, divided we leaves? [14 points]

Given that \( z^a + z^b + z^c + 1 = 0 \) and \( \{a\ ,\ b\ ,\ c\}\subset Z \). Prove that \( |z|= 1 \) i.e. \( z \) is some \( n^{\mathrm{th}} \) root of unity.

enescu · Post by **enescu** » Mon Dec 21, 2009 10:41 pm

Am vizitat site-ul acestui concurs si am consultat si sectiunea "corecturi". La aceasta problema apare in plus conditia (evidenta) ca a,b,c sa fie distincte si apoi, ca se cere numai ca |z|=1, nu ca e radacina a unitatii. Mi se pare ca autorul e complet pe dinafara. Banuiesc ca se gandea ca orice numar de modul 1 e radacina a unitatii.