Cardinale de multimi si ordinul unui element

[Theodor Munteanu]

Fie G un grup finit si H un subgrup al lui G astfel incat |G|=2|H|. Sa se demonstreze ca exista \( x\in G-H \) astfel incat ord(x) e o putere a lui 2.

Laurentiu Duican, 2001

[bae]

Indicatie: se alege un element \( x\in G-H \) cu proprietatea ca \( x^2\in H \) si se arata ca el sau o putere a sa satisface cerinta.

[Laurentiu Tucaa]

Avem doua posibilitati :
1) \( ord(H) \) e impar. Cum \( 2|ord(G) \) (din ipoteza) rezulta conform teoremei lui Cauchy, 2 fiind nr prim, ca exista \( x\in G \) a.i. \( ord(x)=2 \). Daca prin absurd \( x\in H \) ar rezulta din Lagrange \( ord(x)=2|ord(H) \), fals. Deci \( x\in G-H \) si are proprietatea ca ordinul sau este putere a lui 2;
2) \( ord(H) \) este par. Se demonstreaza simplu ca exista \( x\in G-H \) a.i. \( x^2\in H. \) Evident \( ord(x^2) \) divide ord(H). Asta inseamna ca exista \( m\in \mathbb{N}^* \) a.i. \( (x^2)^m=e, m=ord(x^2) \), deci \( (x^m)^2=e \). Scriem \( m=2^{t}m_1 \), unde \( m_1 \) este impar. Acum \( (x^{m_1})^{2^{t+1}}=e \) iar \( ord(x^{m_1})=2^{t+1} \), altfel \( m \) nu ar fi ordinul lui \( x^2 \) cum am presupus mai devreme si \( x^{m_1}\in G-H. \)

[Theodor Munteanu]

|G|=2|H|, deci H e subgrup (normal) de indice 2 iar \( G/H=\{H,xH\} \), \( x \in G-H \).
G/H e grup factor si \( (xH)(xH)=x^2 H \Rightarrow x^2 \in H \Rightarrow (x^2 )^{ord(H)}=e. \)

[Theodor Munteanu]

Acel element x folosit la scrierea grupului cat.

[Laurentiu Tucaa]

Cum \( ord(x^2)=m,\ m=2^t\cdot m_1 \), rezulta \( x^{2^{t+1}\cdot m_1}=e <=> (x^{m_1})^{2^{t+1}}=e \) si daca presupunem ca \( ord(x^{m_1})<2^{t+1} \) ne rezulta ca \( ord(x^2)<m \), contradictie.

[Theodor Munteanu]

Rectific. Deoarece G/H e grup factor \( xHxH=x^2 H \in \{H,xH\} \rightarrow x^2=x \) sau \( x^2=e. \)
Primul caz duce la x=e iar al doilea convine problemei.