Concursul "Unirea" 2010, pb 2

[Laurentiu Tucaa]

Fie \( G\subset M_n(\mathbb{R}),\ card(G)=k\ge 1,\ n\ge2 \). G este parte stabila in raport cu inmultirea matricilor si grup in raport cu aceasta operatie (cel putin asa apare enuntul, chiar daca faptul ca G este grup implica faptul ca este parte stabila). Se defineste \( S=\sum_{A\in G} A \). Avem \( \tr(S)=kn \). Sa se arate ca \( S=kI_n \).

[Radu Titiu]

G este parte stabila in raport cu inmultirea matricilor si grup in raport cu aceasta operatie (cel putin asa apare enuntul, chiar daca faptul ca G este grup implica faptul ca este parte stabila).

in cazul acesta parte stabila e echivalent cu grup. ( pt ca G e finita )

Daca elementul neutru al grupului G este \( I_n \) , atunci din teorema lui Lagrange avem \( A^k=I_n \), pt orice A din G.Rezulta ca radacinile (complexe ) ale ecuatiei \( \det(A-xI_n)=0 \) ( le notez cu \( \lambda_i ) \) se gasesc printre radacinile ecuatiei \( X^k=1 \), deci au toate modulul 1.

Daca A e din G si \( \lambda_i \) sunt radacinile ecuatiei \( \det(A-xI_n)=0 \) , atunci din relatiile lui Viete stim ca \( Tr(A)=\sum \lambda_i \) , rezulta \( Tr(A) \leq |Tr(A)| \leq \sum |\lambda_i | =n \).(*)

De aici deducem
\( kn=Tr(S)=|\sum_{A \in G} Tr(A)| \leq \sum_{A \in G} |Tr(A)| \leq kn \), rezulta ca in inegalitatea (*) trebuie sa avem egalitate pt orice A din G .

adica pentru orice A trebuie sa avem :
\( |\lambda_1 +\cdots + \lambda_n|= |\lambda_1|+ \cdots + |\lambda_n| \)
mai stim ca sunt radacini de ordin k ale unitatii si mai stim ca suma lor trebuie sa fie numar real.Din aceste conditii rezulta ca \( \lambda_i =1 \) pt \( i=\overline{1,n} \) (daca ar exista o matrice B pt care toate lambdaurile sa fie -1 nu s-ar mai putea indeplini conditia \( Tr(S)=kn \) )

deci , daca A e din G , trebuie sa aiba toate valorile proprii egale cu 1. rezulta ca valorile proprii ale matricei \( A^{k-1}+\cdots +A+I_n \) nu pot fi zero deci aceasta matrice e inversabila , rezulta din \( A^k=I_n \) ca \( A=I_n \).

Deci grupul G e grupul trivial.


Daca elementul neutru al grupului G nu e \( I_n \) atunci se poate demonstra ca \( Tr(S) \leq (n-1)k \).(exercitiu)

[Theodor Munteanu]

Si eu am demonstrat ca grupul e trivial si nu am primit decat 1 punct.Am folosit ca orice element la puterea k da \( I_n \) etc.

[Radu Titiu]

Poate n-ai redactat-o destul de clar si nu s-au chinuit sa inteleaga, mai ales daca ai demonstrat "altceva" decat ceea ce cerea problema si nu era asa ceva pe barem .Si mai trebuia avut grija la faptul ca daca elementul neutru al lui G nu e I_n , atunci nu cred ca puteai arata ca grupul e trivial.Un grup cu proprietatea din enunt care are elementul neutru diferit de I_n, nu exista. Din ce ai scris tu mai sus, am impresia ca ai omis asta.