Functie continua si crescatoare cu integrala nula

[Cezar Lupu]

Fie \( f:[0,1]\to\mathbb{R} \) o functie continua si crescatoare astfel incat\( \int_0^1f(x)dx=0 \). Sa se arate ca daca exista o functie \( \varphi:[0,1]\to\mathbb{R} \) continua, descrescatoare si neconstanta, astfel incat \( \int_0^1f(x)\varphi(x)dx=0 \), atunci \( f(x)=0,\forall x\in [0,1] \).

Viorel Barbu, ONM 1989

[Laurentiu Tucaa]

Problema iese usor folosind inegalitatea integrala a lui Cebasev. Cum functiile \( f,\varphi \) sunt monotone de monotonii diferite avem \( \int_0^1 f(x)\varphi(x) dx \le \int_0^1 f(x)dx\cdot\int_0^1 \varphi(x)dx \) si folosind ipoteza avem egalitate in Cebasev ,deci una din functii este constanta,cu exceptia unei multimi numarabile .Cum ambele sunt continue ,rezulta ca cea care este constanta ,este pe tot intervalul \( [0,1] \).Dar \( \varphi \) nu poate fi constanta ,caci altfel am avea contradictie cu ipoteza ,deci \( f \) este constanta .Cum \( \int_0^1 f(x)dx=0 \)rezulta \( f(x)=0,\forall x\in[0,1] \) .

[Laurentiu Tucaa]

Este clar ca pt f puteam avea conditia sa fie doar monotona ,nu era absolut necesar sa fie monoton crescatoare.