Demonstrati la nivelul clasei a VII -a relatia metrica care da lungimea bisectoarei : \( l_a=\frac {2bc\cdot\cos\frac A2}{b+c} \) (folosind
definitia functiei COS numai pt. un unghi ascutit intr-un triunghi dreptunghic - cateta alaturata/ipotenuza).
Lungimea bisectoarei intr-un triunghi.
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
-
Mateescu Constantin
- Newton
- Posts: 307
- Joined: Tue Apr 21, 2009 8:17 am
- Location: Pitesti
Presupunem , fara a restrange generalitatea problemei ca \( b\ge c \) . Notam \( D\in [BC] \) pentru care \( \widehat{BAD}\equiv\widehat{CAD} \) .
Construim perpendiculara in \( D \) pe \( AD \) care intersecteaza dreapta \( AB \) in punctul \( E \) si segmentul \( [AC] \) in punctul \( F \) .
In aceasta configuratie triunghiul \( AEF \) este isoscel \( (\ [AD] \) bisectoare si inaltime \( ) \) , deci \( AE=AF\ (\ast) \)
Aplicand teorema lui Menelaus pentru transversala \( \overline{FDE} \) din \( \triangle ABC \) si tinand cont de teorema bisectoarei obtinem :
\( \frac{AF}{FC}\ \cdot\ \frac{CD}{DB}\ \cdot\ \frac{BE}{EA}=1\ \Longleftrightarrow^{(\ast)}\ \frac{BE}{FC}=\frac{BD}{DC}\ \Longleftrightarrow\ \frac{BE}{FC}=\frac cb\ \Longleftrightarrow\ \frac{AE-c}{FC}=\frac cb\ \Longleftrightarrow^{(\ast)}\ \frac{AF-c}{FC}=\frac cb \)
\( \Longleftrightarrow\ \frac{AF+FC-c}{FC}=\frac{b+c}{b}\ \Longleftrightarrow\ FC=\frac{b(b-c)}{b+c} \) . Prin urmare , \( AF=b-FC\ \Longleftrightarrow\ \overline{\underline{\left\|\ AF=\frac{2bc}{b+c}\ \right\|}} \) .
Acum , din \( \triangle ADF \) dreptunghic in \( D\ \Longrightarrow\ \cos\frac A2=\frac{l_a}{AF}\ \Longleftrightarrow\ \overline{\underline{\left\|\ l_a=\frac{2bc}{b+c}\ \cdot\ \cos\frac A2\ \right\|}} \) .
Construim perpendiculara in \( D \) pe \( AD \) care intersecteaza dreapta \( AB \) in punctul \( E \) si segmentul \( [AC] \) in punctul \( F \) .
In aceasta configuratie triunghiul \( AEF \) este isoscel \( (\ [AD] \) bisectoare si inaltime \( ) \) , deci \( AE=AF\ (\ast) \)
Aplicand teorema lui Menelaus pentru transversala \( \overline{FDE} \) din \( \triangle ABC \) si tinand cont de teorema bisectoarei obtinem :
\( \frac{AF}{FC}\ \cdot\ \frac{CD}{DB}\ \cdot\ \frac{BE}{EA}=1\ \Longleftrightarrow^{(\ast)}\ \frac{BE}{FC}=\frac{BD}{DC}\ \Longleftrightarrow\ \frac{BE}{FC}=\frac cb\ \Longleftrightarrow\ \frac{AE-c}{FC}=\frac cb\ \Longleftrightarrow^{(\ast)}\ \frac{AF-c}{FC}=\frac cb \)
\( \Longleftrightarrow\ \frac{AF+FC-c}{FC}=\frac{b+c}{b}\ \Longleftrightarrow\ FC=\frac{b(b-c)}{b+c} \) . Prin urmare , \( AF=b-FC\ \Longleftrightarrow\ \overline{\underline{\left\|\ AF=\frac{2bc}{b+c}\ \right\|}} \) .
Acum , din \( \triangle ADF \) dreptunghic in \( D\ \Longrightarrow\ \cos\frac A2=\frac{l_a}{AF}\ \Longleftrightarrow\ \overline{\underline{\left\|\ l_a=\frac{2bc}{b+c}\ \cdot\ \cos\frac A2\ \right\|}} \) .
Last edited by Mateescu Constantin on Wed Feb 17, 2010 11:45 am, edited 1 time in total.
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
Multumesc, Mateescu Constantin. Frumoasa metoda ! Si acum sa dau cateva detalii relativ la aceasta problema. Am dat-o cu multi ani in urma la clasa a IX - a dupa prima saptamana de scoala la testul de verificare a cunostintelor de la gimnaziu prin care "masuram" (din punctul meu de vedere) nivelul de pregatire al elevilor pe care ii "adoptasem" pentru a ramane impreuna pana la terminarea liceului. Rezultatele de la "treapta I - a" erau semnificative, insa pentru mine nu erau suficient de concludente. Mare mi-a fost surpriza ca la aceasta problema sa gasesc printre lucrari cateva solutii, care mai de care mai frumoase. Le-am pastrat si zilele acestea am dat intamplator peste ele. Iata pentru inceput patru metode ...
Metoda 0 (M.C.). Presupunem fara a restrange generalitatea ca \( b\ge c \) . Notam \( D\in (BC) \) , \( \widehat{DAB}\equiv\widehat{DAC} \)
si \( E\in AB \) , \( F\in AC \) astfel incat \( D\in EF \) si \( AD\perp\overline {EDF} \) . Se observa ca \( L=AE=AF=\frac {AD}{\cos\frac A2 \)
si \( \frac {DB}{c}=\frac {DC}{b}=\frac {a}{b+c} \) . Aplicam teorema Menelaus transversalei \( \overline {EDF} \) si \( \triangle ABC\ :\ \frac {EB}{EA}\cdot\frac {FA}{FC}\cdot\frac {DC}{DB}=1 \)
\( \Longrightarrow\ EB\cdot DC=FC\cdot DB\ \Longrightarrow\ b(L-c)=c(b-L)\ \Longrightarrow\ L=\frac {2bc}{b+c}\ \Longrightarrow\ AD=\frac {2bc\cdot\cos\frac A2}{b+c} \) .
Metoda 1 (Mihai). Notam \( D\in (BC) \) , \( \angle DAB \) \( \equiv\angle DAC \) si \( E\in (AB) \) , \( DE\ \parallel\ AC \) .
Se arata usor ca \( EA=ED=\frac {bc}{b+c} \) si \( AD=2\cdot ED\cdot\cos\frac A2\ \Longrightarrow\ AD=\frac {2bc\cdot\cos\frac A2}{b+c} \) .
Metoda 2 (Emil). Notam \( D\in (BC) \) , \( \angle DAB\equiv\angle DAC \) si \( E\in AB \) , \( CE\ \parallel\ AD \) .
Se arata usor ca \( AE=AC=b \) , \( CE=2b\cdot\cos\frac A2 \) si \( \frac {AD}{CE}=\frac {c}{b+c}\ \Longrightarrow\ AD=\frac {2bc\cdot\cos\frac A2}{b+c} \) .
Metoda 3 (Ioan). Notam \( D\in (BC) \) , \( \angle DAB\equiv\angle DAC \) si \( E\in AD \) , \( BE\ \parallel\ AC \) .
Se arata usor ca \( BA=BE=c \) , \( AE=2c\cdot\cos\frac A2 \) si \( \frac {AD}{b}=\frac {DE}{c}=\frac {AE}{b+c}\ \Longrightarrow\ AD=\frac {2bc\cdot\cos\frac A2}{b+c} \) .
Metoda 4 (Dan). Notam \( D\in (BC) \) pentru care \( m(\angle DAB)=m(\angle DAC)=x \) . Se observa
ca \( [ABC]=[DAB]+[DAC]\ \Longrightarrow\ bc\cdot\sin 2x=AD\cdot (b+c)\cdot\sin x\ \Longrightarrow\ AD=\frac {2bc\cos\frac A2}{b+c} \) .
Observatie. Danut a folosit relatiile \( S=bc\cdot\sin A \) si \( \sin 2x=2\sin x\cos x \) . Ultima nu era in programa,
probabil elevul o cunostea de la cercul de matematica sau dintr-o pregatire (dopping !) in particular.
Metoda 5 (V.N.). Notam \( D\in (BC) \) pentru care \( m(\angle DAB)=m(\angle DAC)=x \) si \( \left\|\begin{array}{c}
X\in AX\ ,\ BX\ \parallel\ AD\\\\\\\\
Y\in AB\ ,\ CY\ \parallel\ AD\end{array}\right\| \) .
Se observa ca trapezul \( XBCY \) este isoscel si \( \frac {BX}{c}=\frac {CY}{b}=2\cdot\cos\frac A2 \) . Insa \( \left\|\begin{array}{c}
\frac {CD}{CB}=\frac {AD}{BX}\\\\\\\\
\frac {BD}{BC}=\frac {AD}{CY}\end{array}\right\|\ \bigoplus\ \Longrightarrow \)
\( \frac {1}{AD}=\frac {1}{BX}+\frac {1}{CY}\ \Longrightarrow\ \frac 1b+\frac 1c=\frac {2\cdot\cos\frac A2}{AD}\ \Longrightarrow\ AD=\frac {2bc\cdot\cos\frac A2}{b+c} \) . O solutie simetrica in \( b \) si \( c \) !
Generalizare.. \( \triangle ABC\ \ \wedge\ \ D\in (BC)\ \ \wedge\ \ \left\|\ \begin{array}{c}
m(\angle DAB)=x\\\\\\\\
m(\angle DAC)=y\end{array}\ \right\|\ \Longrightarrow\ \underline{\overline{\left\|\ \frac {\sin x}{b}\ +\ \frac {\sin y}{c}\ =\ \frac {\sin A}{AD}\ \right\|}}\ (*) \) .
Dem. \( \left\|\ \begin{array}{c}
\frac {BD}{BC}=\frac {AD}{AC}\cdot\frac {\sin (\angle BAD)}{\sin (\angle BAC)}\\\\\\\\
\frac {CD}{CB}=\frac {AD}{AB}\cdot\frac {\sin (\angle CAD)}{\sin (\angle CAB)}\end{array}\ \right\|\ \bigoplus\ \Longrightarrow\ 1=\frac {AD}{\sin A}\cdot \left(\frac {\sin x}{b}+\frac {\sin y}{c}\right)\ \Longrightarrow\ \frac {\sin x}{b}\ +\ \frac {\sin y}{c}\ =\ \frac {\sin A}{AD}\ . \)
Altfel. \( [ABC]=[ABD]+[ADC]\Longleftrightarrow bc\cdot \sin A=c\cdot AD\cdot\sin x+b\cdot AD\cdot\sin y\Longleftrightarrow \frac {\sin x}{b}+\frac {\sin y}{c}=\frac {\sin A}{AD} \) .
Va recomand cartea profesorului Bogdan Enescu despre "Arii". Pentru cei de la gimnaziu
sau liceu este o adevarata "bijuterie", foarte utila chiar si pentru probleme ceva mai "delicate".
Observatie. Notam \( \{\ A\ ,\ E\ \}=AD\ \cap\ w\ . \) Relatia \( (*) \) este echivalenta cu relatia \( \overline{\underline{\left\|\ \frac {BE}{b}\ +\ \frac {CE}{c}\ =\ \frac {a}{AD}\ \right\|}}\ . \)
Cazuri particulare. Fie un triunghi ascutitunghic \( ABC \) si un punct \( D\in (BC) \) .
\( 1.\ \odot\ AD\perp BC \Longrightarrow\ \frac {\cos B}{b}+\frac {\cos C}{c}=\frac {\sin A}{h_a} \) , unde \( h_a \) este lungimea \( A \)-inaltimii \( \Longleftrightarrow\ b\cdot\cos C+c\cdot\cos B=a \) .
\( 2.\ \odot\ O\in AD\Longrightarrow\ \frac {\cos C}{b}+\frac {\cos B}{c}=\frac {\sin A}{AD} \) , unde \( O \) este circumcentrul \( \triangle ABC\ \Longleftrightarrow\ b\cdot \cos B+c\cdot\cos C=a\cdot\cos (B-C) \) .
Observatie generala. Dreapta \( AD \) intalneste din nou cercul circumscris \( w \) al \( \triangle ABC \) in \( S\ \Longrightarrow\ \triangle ABS\sim\triangle ADC\ \Longrightarrow \)
\( AD\cdot AS=bc \) . Puterea lui \( D \) in raport cu \( w\ \Longrightarrow\ DA\cdot DS=DB\cdot DC\ \Longrightarrow\ AD\cdot (AS-AD)=DB\cdot DC\ \Longrightarrow \)
\( AD^2=bc-DB\cdot DC \) , unde \( \frac {DB}{c}=\frac {DC}{b}=\frac {a}{b+c}\ \Longrightarrow\ AD^2=bc-\frac {a^2bc}{(b+c)^2}\ \Longrightarrow\ \overline{\underline{\left\|\ AD=\frac {2\sqrt {bcp(p-a)}}{b+c}=\frac {2bc\cdot\cos\frac A2}{b+c}\ \right\|}} \) .
Concluzie. Programa actuala este departe de a pregati asemenea elevi decat printr-o pregatire suplimentara prin meditatii, consultatii si/sau in cadrul cercurilor de matematica care nu sunt realizabile in cadrul scolii decat ori obligati la o "munca patriotica" asidua ori gratuit prin dragostea unor profesori pentru elevii lor, de a-i pregati pentru a face performanta nu numai in matematica, dar si in viata. In unele tari civilizate lucrurile stau altfel. Sunt profesori care in exclusivitate si in afara orelor din program ori pregatesc elevii care au un talent deosebit intr-un anumit domeniu de studiu ori se ocupa de elevii care au dificultati in invatare si rezolvarea temelor pentru a doua zi. Toate acestea se realizeaza pe nivele si in clase special amenajate in cadrul scolii. Si aici ma refer nu numai la matematica, fizica, chimie, literatura etc, dar si la muzica, pictura, educatie fizica (anumite sporturi individuale sau colective) etc.
Metoda 0 (M.C.). Presupunem fara a restrange generalitatea ca \( b\ge c \) . Notam \( D\in (BC) \) , \( \widehat{DAB}\equiv\widehat{DAC} \)
si \( E\in AB \) , \( F\in AC \) astfel incat \( D\in EF \) si \( AD\perp\overline {EDF} \) . Se observa ca \( L=AE=AF=\frac {AD}{\cos\frac A2 \)
si \( \frac {DB}{c}=\frac {DC}{b}=\frac {a}{b+c} \) . Aplicam teorema Menelaus transversalei \( \overline {EDF} \) si \( \triangle ABC\ :\ \frac {EB}{EA}\cdot\frac {FA}{FC}\cdot\frac {DC}{DB}=1 \)
\( \Longrightarrow\ EB\cdot DC=FC\cdot DB\ \Longrightarrow\ b(L-c)=c(b-L)\ \Longrightarrow\ L=\frac {2bc}{b+c}\ \Longrightarrow\ AD=\frac {2bc\cdot\cos\frac A2}{b+c} \) .
Metoda 1 (Mihai). Notam \( D\in (BC) \) , \( \angle DAB \) \( \equiv\angle DAC \) si \( E\in (AB) \) , \( DE\ \parallel\ AC \) .
Se arata usor ca \( EA=ED=\frac {bc}{b+c} \) si \( AD=2\cdot ED\cdot\cos\frac A2\ \Longrightarrow\ AD=\frac {2bc\cdot\cos\frac A2}{b+c} \) .
Metoda 2 (Emil). Notam \( D\in (BC) \) , \( \angle DAB\equiv\angle DAC \) si \( E\in AB \) , \( CE\ \parallel\ AD \) .
Se arata usor ca \( AE=AC=b \) , \( CE=2b\cdot\cos\frac A2 \) si \( \frac {AD}{CE}=\frac {c}{b+c}\ \Longrightarrow\ AD=\frac {2bc\cdot\cos\frac A2}{b+c} \) .
Metoda 3 (Ioan). Notam \( D\in (BC) \) , \( \angle DAB\equiv\angle DAC \) si \( E\in AD \) , \( BE\ \parallel\ AC \) .
Se arata usor ca \( BA=BE=c \) , \( AE=2c\cdot\cos\frac A2 \) si \( \frac {AD}{b}=\frac {DE}{c}=\frac {AE}{b+c}\ \Longrightarrow\ AD=\frac {2bc\cdot\cos\frac A2}{b+c} \) .
Metoda 4 (Dan). Notam \( D\in (BC) \) pentru care \( m(\angle DAB)=m(\angle DAC)=x \) . Se observa
ca \( [ABC]=[DAB]+[DAC]\ \Longrightarrow\ bc\cdot\sin 2x=AD\cdot (b+c)\cdot\sin x\ \Longrightarrow\ AD=\frac {2bc\cos\frac A2}{b+c} \) .
Observatie. Danut a folosit relatiile \( S=bc\cdot\sin A \) si \( \sin 2x=2\sin x\cos x \) . Ultima nu era in programa,
probabil elevul o cunostea de la cercul de matematica sau dintr-o pregatire (dopping !) in particular.
Metoda 5 (V.N.). Notam \( D\in (BC) \) pentru care \( m(\angle DAB)=m(\angle DAC)=x \) si \( \left\|\begin{array}{c}
X\in AX\ ,\ BX\ \parallel\ AD\\\\\\\\
Y\in AB\ ,\ CY\ \parallel\ AD\end{array}\right\| \) .
Se observa ca trapezul \( XBCY \) este isoscel si \( \frac {BX}{c}=\frac {CY}{b}=2\cdot\cos\frac A2 \) . Insa \( \left\|\begin{array}{c}
\frac {CD}{CB}=\frac {AD}{BX}\\\\\\\\
\frac {BD}{BC}=\frac {AD}{CY}\end{array}\right\|\ \bigoplus\ \Longrightarrow \)
\( \frac {1}{AD}=\frac {1}{BX}+\frac {1}{CY}\ \Longrightarrow\ \frac 1b+\frac 1c=\frac {2\cdot\cos\frac A2}{AD}\ \Longrightarrow\ AD=\frac {2bc\cdot\cos\frac A2}{b+c} \) . O solutie simetrica in \( b \) si \( c \) !
Generalizare.. \( \triangle ABC\ \ \wedge\ \ D\in (BC)\ \ \wedge\ \ \left\|\ \begin{array}{c}
m(\angle DAB)=x\\\\\\\\
m(\angle DAC)=y\end{array}\ \right\|\ \Longrightarrow\ \underline{\overline{\left\|\ \frac {\sin x}{b}\ +\ \frac {\sin y}{c}\ =\ \frac {\sin A}{AD}\ \right\|}}\ (*) \) .
Dem. \( \left\|\ \begin{array}{c}
\frac {BD}{BC}=\frac {AD}{AC}\cdot\frac {\sin (\angle BAD)}{\sin (\angle BAC)}\\\\\\\\
\frac {CD}{CB}=\frac {AD}{AB}\cdot\frac {\sin (\angle CAD)}{\sin (\angle CAB)}\end{array}\ \right\|\ \bigoplus\ \Longrightarrow\ 1=\frac {AD}{\sin A}\cdot \left(\frac {\sin x}{b}+\frac {\sin y}{c}\right)\ \Longrightarrow\ \frac {\sin x}{b}\ +\ \frac {\sin y}{c}\ =\ \frac {\sin A}{AD}\ . \)
Altfel. \( [ABC]=[ABD]+[ADC]\Longleftrightarrow bc\cdot \sin A=c\cdot AD\cdot\sin x+b\cdot AD\cdot\sin y\Longleftrightarrow \frac {\sin x}{b}+\frac {\sin y}{c}=\frac {\sin A}{AD} \) .
Va recomand cartea profesorului Bogdan Enescu despre "Arii". Pentru cei de la gimnaziu
sau liceu este o adevarata "bijuterie", foarte utila chiar si pentru probleme ceva mai "delicate".
Observatie. Notam \( \{\ A\ ,\ E\ \}=AD\ \cap\ w\ . \) Relatia \( (*) \) este echivalenta cu relatia \( \overline{\underline{\left\|\ \frac {BE}{b}\ +\ \frac {CE}{c}\ =\ \frac {a}{AD}\ \right\|}}\ . \)
Cazuri particulare. Fie un triunghi ascutitunghic \( ABC \) si un punct \( D\in (BC) \) .
\( 1.\ \odot\ AD\perp BC \Longrightarrow\ \frac {\cos B}{b}+\frac {\cos C}{c}=\frac {\sin A}{h_a} \) , unde \( h_a \) este lungimea \( A \)-inaltimii \( \Longleftrightarrow\ b\cdot\cos C+c\cdot\cos B=a \) .
\( 2.\ \odot\ O\in AD\Longrightarrow\ \frac {\cos C}{b}+\frac {\cos B}{c}=\frac {\sin A}{AD} \) , unde \( O \) este circumcentrul \( \triangle ABC\ \Longleftrightarrow\ b\cdot \cos B+c\cdot\cos C=a\cdot\cos (B-C) \) .
Observatie generala. Dreapta \( AD \) intalneste din nou cercul circumscris \( w \) al \( \triangle ABC \) in \( S\ \Longrightarrow\ \triangle ABS\sim\triangle ADC\ \Longrightarrow \)
\( AD\cdot AS=bc \) . Puterea lui \( D \) in raport cu \( w\ \Longrightarrow\ DA\cdot DS=DB\cdot DC\ \Longrightarrow\ AD\cdot (AS-AD)=DB\cdot DC\ \Longrightarrow \)
\( AD^2=bc-DB\cdot DC \) , unde \( \frac {DB}{c}=\frac {DC}{b}=\frac {a}{b+c}\ \Longrightarrow\ AD^2=bc-\frac {a^2bc}{(b+c)^2}\ \Longrightarrow\ \overline{\underline{\left\|\ AD=\frac {2\sqrt {bcp(p-a)}}{b+c}=\frac {2bc\cdot\cos\frac A2}{b+c}\ \right\|}} \) .
Concluzie. Programa actuala este departe de a pregati asemenea elevi decat printr-o pregatire suplimentara prin meditatii, consultatii si/sau in cadrul cercurilor de matematica care nu sunt realizabile in cadrul scolii decat ori obligati la o "munca patriotica" asidua ori gratuit prin dragostea unor profesori pentru elevii lor, de a-i pregati pentru a face performanta nu numai in matematica, dar si in viata. In unele tari civilizate lucrurile stau altfel. Sunt profesori care in exclusivitate si in afara orelor din program ori pregatesc elevii care au un talent deosebit intr-un anumit domeniu de studiu ori se ocupa de elevii care au dificultati in invatare si rezolvarea temelor pentru a doua zi. Toate acestea se realizeaza pe nivele si in clase special amenajate in cadrul scolii. Si aici ma refer nu numai la matematica, fizica, chimie, literatura etc, dar si la muzica, pictura, educatie fizica (anumite sporturi individuale sau colective) etc.
Last edited by Virgil Nicula on Thu Mar 11, 2010 8:09 am, edited 2 times in total.
-
moldovan ana
- Pitagora
- Posts: 54
- Joined: Wed Sep 23, 2009 4:10 pm