Grup neabelian-problema 26255-GMB 1/2010

[Tudor Micu]

Fie \( (G,\ \cdot) \) un grup cu proprietatea că \( a^2b=ba^2\Rightarrow ab=ba \)

i) Să se arate că, dacă G are \( 2^n \) elemente, atunci G este abelian.

ii) Daţi exemplu de grup neabelian cu proprietatea din enunţ.

Marian Andronache, Bucuresti


(prima mi-a ieşit si mie, sunt curios de un exemplu de grup neabelian)

[cipriancx]

Rezolvarea la i)

Cum G are \( 2^n \) elemente rezulta ca toate elementele au ordin doi, ceea ce inseamna ca egalitatea \( a^2b=ba^2 \) este adevarata pentru oricare doua elemente din G.
De aici rezulta G abelian.

ii)Observam ca daca in grupul G fiecare element are ordinul 3 atunci din \( a^2b=ba^2 \) inmultind la stanga cu a obtinem \( b=aba^2 \)si apoi inmultim la dreapta cu a obtinand ba=ab.
Asadar ne trebuie un grup necomutativ in care fiecare element sa aiba ordinul 3.
O problema asemanatoare a fost anul acesta la unirea iar acolo daca imi amintesc bine aduceau ca exemplu grupul diedral.

[Tudor Micu]

Cum G are \( 2^n \) elemente rezultă că toate elementele au ordin doi

Ai putea să detaliezi puţin asta, că am impresia că nu e adevărată. De exemplu \( (\mathbb{Z}_8,+) \) are \( 2^3=8 \) elemente, dar elementul \( \widehat{2} \) are ordinul 4.


Eu am făcut-o asta aşa:

Condiţia din problemă se poate traduce astfel:

Dacă \( a^2\in Z(G) \) atunci \( a\in Z(G) \)

Presupunem că există \( b\in G-Z(G) \). Atunci cum grupul G e finit şi are ordinul \( 2^n \) atunci şi b va avea ordin finit, mai mult, ordinul lui b va fi o putere a lui 2, fie \( 2^K \)

\( b^{2^K}=e\in Z(G)\Rightarrow b^{2^{K-1}}\in Z(G)\Rightarrow b^{2^{K-2}}\in Z{G}\Rightarrow\ldots\Rightarrow b^2\in Z(G)\Rightarrow b\in Z(G) \), contradicţie, deci nu există \( b\in G-Z(G) \) Atunci \( G=Z(G) \) şi G abelian.


E faină ideea de la ii) cu ordinul 3.

Grupul diedral e într-adevăr bun (mai precis, \( D_3=\{1,r,r^2,s,rs,r^2s\} \))

Pentru \( a=r \) sau \( r^2 \) atunci a e de ordinul 3 şi e rezolvarea pe care ai spus-o tu.

Dacă \( a=s,rs,r^2s \) atunci a e de ordinul 2 şi clar oricare ar fi b avem \( a^2b=ba^2 \), iar \( ab=ba^{-1}=ba \)

Hmm, de fapt aici nu e bine, acum am observat, că dacă luăm \( a=s \), \( b=r \) atunci \( a^2=1 \) si clar \( a^2b=ba^2 \), dar \( rs\neq sr \), deci \( ab\neq ba \)

[cipriancx]

Ai dreptate, nu am fost atent la i) ca ordinul unui element din G e o putere a lui 2.

[Tudor Micu]

Revin cu un exemplu, (sper eu) corect.

E vorba de grupul \( <u,v,w| u^3=v^3=w^3=1 ; uv=vuw, vw=wv, uw=wu> \)
Dat fiind felul in care se fac operatiile este clar necomutativ. Se poate demonstra (relativ laborios, dar nu foarte complicat) ca este un grup de exponent 3 si atunci se incadreaza la rezolvarea precedenta.

[Theodor Munteanu]

Daca toate elementele din grup sunt de ordin 2 atunci cardinalul e de forma \( 2^n \).Reciproca nu e adevarata.

[turcas]

A se observa ca Tudor continua traditia de a intui problema din Gazeta, inainte de judeteana )

Inca odata, multumim Tudor

[cipriancx]

Iti suntem recunoscatori pt grup desi n-ar fi stricat celalalt exemplu

[Tudor Micu]

Cu multă plăcere. Ajut şi pe alţii, mă ajut şi singur, câştigă toată lumea.
Oricum, era clar că o să vină o problemă din ultimele gazete. Variante nu erau foarte multe şi problema asta era printre cele mai interesante. Totuşi, coincidenţa e fenomenală.

Pe cuvânt că aş fi pus şi celălalt exemplu dacă îl găseam la momentul potrivit în dosarul meu de grupuri de mărimea DEX-ului (scrisul e ceva mai mare, totuşi )

[Beniamin Bogosel]

Incredibil... Problema a fost pe forum de cel putin o saptamana... Cred ca asa a fost si anul trecut. Tin minte ca o problema de la judet era pe forum. Poate ca ar fi bine ca propunatorii sa se mai uite si pe aici cand fac subiectele.

La Timisoara nu prea au fost rezolvitori pentru aceasta problema. Punctul a) a fost facut de cineva, si exemplu bun n-am vazut.

[turcas]

Un exemplu bun (nu cel de pe barem)

Consideram grupul \( (G, \circ) \), unde \( G \) este multimea functiilor de gradul I: \( f= \hat{a}X+\hat{b}, \) \( f \in \mathbb{Z}_7[X] \) si \( \hat{a} \in \{ \hat{1}, \hat{2}, \hat{4} \} \).

"\( \circ \)" este operatia de compunere a functiilor.

La compunere, coeficientii sunt luati modulo \( 7 \). Se verifica usor proprietatile grupului, si faptul ca \( G \) este necomutativ.

[Laurentiu Tucaa]

Eu am luat doar 2 puncte pe ea ,cu toate ca era pe forum ,dar cand am vazut ca e problema ce nu e de nivel CO am zis ca sigur nu da si ca n-are rost sa mai pierd vremea pe rezolvarea ei ,si ieri in concurs n-am fost atent la rezolvare si am gresit.Apropo,cate puncte in total ati luat?

[Theodor Munteanu]

Eu am facut rezolvarea ca pe forum si am luat 0 pentru ca se pare(nu era ca in barem)

[cipriancx]

eu am luat 5/7. luni aflu de ce anume am pierdut 2 puncte.

[Tudor Micu]

7, am bagat exemplul cu matricile

[turcas]

Exemplu cu matricele il puteti gasi si la OJI 2003, problema 1.

Edit: Pardon, am vrut sa zic OJM 2003

[cipriancx]

[quote="turcas"]Exemplu cu matricele il puteti gasi si la OJI 2003, problema 1.[/quote]
OJI=olimpiada judeteana de informatica?