Se considera multimea \( X=\{1, 3, 5, 7, ....., 2n+1\} \). Consideram urmatorul sir de submultimi ale multimii X astfel:
\( A_1=\{1\}; A_2=\{3, 5\}; A_3=\{7, 9, 11\} \); etc.
a) Scrieti multimile \( A_4 \) si \( A_5 \);
b) Calculati suma elementelor multimii \( A_{20} \).
Concursul Matefbc editia a 4-a problema 1
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Andi Brojbeanu
- Bernoulli
- Posts: 294
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:31 pm
- Location: Targoviste (Dambovita)
Punctul a) : \( \normal\ A_{4}=\left{13,15,17,19\right} \) si \( \ A_{5}=\left\{21,23,25,27,29\right} \)
Punctul b) : Ne punem problema care este primul element din multimea \( \normal\ A_{20} \). Stim ca un numar impar se poate scrie sub forma \( \normal\2k+1 \). Astfel : \( \normal\ A_1=\left{2*0+1\right};\ A_2=\left\{2*1+1, 2*2+1\right};\ A_3=\left{2*3+1,2*4+1,2*5+1\right}; \ A_4=\left{2*6+1,2*7+1,2*8+1,2*9+1\right} \) samd. Se poate observa ca primul numar din fiecare multime are ca \( \normal\ indice \) (prin indice intelegem urmatorul numar de dupa inmultirea cu 2 si inainte de adunarea cu 1) suma cardinalelor multimilor de dinaintea lui. Spre exemplu primul element din \( \normal\ A_4 \) are primul element \( 2*6+1 \) cu indicele \( 6 \) ceea ce inseamna \( 1+2+3 \). Asa aplicam si pentru \( \ A_{20} \). Primul element al sau este \( \normal\2*\left(1+2+3+\dots+19\right)+1 \), iar ultimul este \( \normal\2*(1+2+3+\dots+19)+1+2*19 \). Calculand suma lor : \( \normal\ S=2*\frac{19*20}{2}*20+1+3+\dots+39=7600+20*20=7600+400=8000 \). Acum nu stiu cat de pe intelesul celor de clasa a 5-a am fost. Se mai putea deduce pentru o minte putin mai stralucita o formula pentru primul element din fiecare multime si anume \( n^2-n+1 \), unde n este indicele multimii respective.
Exercitiu : Folosind eventual indicatiile de mai sus, calculati suma elementelor multimii \( \normal\ A_{500} \).
Punctul b) : Ne punem problema care este primul element din multimea \( \normal\ A_{20} \). Stim ca un numar impar se poate scrie sub forma \( \normal\2k+1 \). Astfel : \( \normal\ A_1=\left{2*0+1\right};\ A_2=\left\{2*1+1, 2*2+1\right};\ A_3=\left{2*3+1,2*4+1,2*5+1\right}; \ A_4=\left{2*6+1,2*7+1,2*8+1,2*9+1\right} \) samd. Se poate observa ca primul numar din fiecare multime are ca \( \normal\ indice \) (prin indice intelegem urmatorul numar de dupa inmultirea cu 2 si inainte de adunarea cu 1) suma cardinalelor multimilor de dinaintea lui. Spre exemplu primul element din \( \normal\ A_4 \) are primul element \( 2*6+1 \) cu indicele \( 6 \) ceea ce inseamna \( 1+2+3 \). Asa aplicam si pentru \( \ A_{20} \). Primul element al sau este \( \normal\2*\left(1+2+3+\dots+19\right)+1 \), iar ultimul este \( \normal\2*(1+2+3+\dots+19)+1+2*19 \). Calculand suma lor : \( \normal\ S=2*\frac{19*20}{2}*20+1+3+\dots+39=7600+20*20=7600+400=8000 \). Acum nu stiu cat de pe intelesul celor de clasa a 5-a am fost. Se mai putea deduce pentru o minte putin mai stralucita o formula pentru primul element din fiecare multime si anume \( n^2-n+1 \), unde n este indicele multimii respective.
Exercitiu : Folosind eventual indicatiile de mai sus, calculati suma elementelor multimii \( \normal\ A_{500} \).