JBTST III 2010, Problema 1

[Andi Brojbeanu]

Consideram doua triunghiuri echilaterale \( ABC \) si \( MNP \) cu proprietatea ca \( AB\parallel MN \), \( BC\parallel NP \) si \( CA\parallel PM \), astfel incat suprafetele triunghiurilor se intersecteaza dupa un hexagon convex. Distantele dintre cele trei perechi de drepte paralele sunt cel mult egale cu \( 1 \). Sa se arate ca cel putin unul dintre cele doua triunghiuri are latura cel mult egala cu \( \sqrt{3} \).

[Spataru Stefan]

Se considera un punct P in interiorul hexagonului. Atunci distanta de la P la laturile hexagonului este egala cu suma distantelor de la P la laturile lui ABC + suma distantelor de la P la laturile lui DEF. Dar intr-un triunghi echilateral, suma distantelor de la un punct la laturile triunghiului este egala cu inaltimea triunghiului. Cum suma distantelor de la P la laturile hexagonului este maxim 3 inseamna ca suma inaltimilor celor doua triunghiuri este mai mica sau egala ca 3, si prin inlocuirea inaltimii in functie de latura obtinem ca a + b <= 2xradical din 3 care este o conditie suficienta pentru ca unul dintre numerele a sau b sa fie mai mic sau egal cu radical din 3