IMAC 2010 Problema 4

[Andi Brojbeanu]

Fie \( M \) si \( N \) mijloacele diagonalelor \( [AC] \) si \( [BD] \) ale patrulaterului inscriptibil \( ABCD \). Sa se arate ca: \( \frac{|AC-BD|}{2}\le MN\le \frac{AC+BD}{2} \).

[Marius Mainea]

\( \vec{MN}=\frac{\vec{AB}+\vec{CD}}{2} \)

[Spataru Stefan]

Ati putea da o solutie care sa nu utilizeze vectori?(la nivelul clasei a VII-a)

[Virgil Nicula]

Fie \( M \) si \( N \) mijloacele diagonalelor \( [AC] \) si \( [BD] \) ale patrulaterului inscriptibil \( ABCD \). Sa se arate ca: \( \frac{|AC-BD|}{2}\le MN\le \frac{AC+BD}{2} \).

Metoda de mai jos nu utilizeaza vectorii si NU este la nivelul clasei a VII - a.

Metoda 2. Notam \( AB=a \) , \( BC=b \) , \( CD=c \) , \( DA=d \) , \( AC=e \) , \( BD=f \) si mijloacele \( X \) , \( Y \) ale laturilor

\( [AB] \) , \( [BC] \) respectiv. Vom folosi relatiile \( ef=ac+bd \) (Ptolemeu) si \( e^2+f^2+4\cdot MN^2= \) \( a^2+b^2+c^2+d^2 \) (Euler).

In \( \triangle MNX \) avem \( XM=\frac b2 \) si \( XN=\frac d2 \) . Deci \( \frac {|b-d|}{2}\ \le\ MN\ \le\ \frac {b+d}{2} \) .

In \( \triangle MNY \) avem \( YM=\frac a2 \) si \( YN=\frac c2 \) . Deci \( \frac {|a-c|}{2}\ \le\ MN\ \le\ \frac {a+c}{2} \) .

Relatiile Euler & Ptolemeu \( \ \Longrightarrow\ (e-f)^2+4\cdot MN^2=(a-c)^2+(b-d)^2\ \le\ 8\cdot MN^2\ \Longrightarrow\ \frac {|e-f|}{2}\ \le\ MN \) .

Relatiile Euler & Ptolemeu \( \ \Longrightarrow\ (e+f)^2+4\cdot MN^2=(a+c)^2+(b+d)^2\ \ge\ 8\cdot MN^2\ \Longrightarrow\ \frac {|e+f|}{2}\ \ge\ MN \) .

[Spataru Stefan]

Nu este la nivelul clasei a VII-a dar am inteles-o. Frumoasa solutie.