Danube - Problema 4

[Madalina]

Fie a si n doi intregi pozitivi cu \( a\geq(n-1)! \). Sa se arate ca exista numere prime distincte \( p_{1}, p_{2},...,p_{n} \) astfel incat \( p_{i}| a + i, \forall i = 1, 2,...,n. \)

[Filip Chindea]

Solutia oficiala. Daca \( a + j \) are cel mult \( n - 1 \) factori primi distincti, il factorizam in mod standard ca \( p_1^{a_1}...p_s^{a_s} \), \( s \in \overline{1, n - 1} \) si asociem acestuia numarul prim \( p_j \) pentru care se atinge maximul lui \( p_t^{a_t} \), si cum aceste \( p_t^{a_t} \) sunt prime intre ele iar \( a + j > (n - 1)! \), are loc \( n \le q_j \stackrel{def}{=} p_t^{a_t} \) pentru care se atinge maximul. Sa demonstram acum ca aceste \( p_j \) sunt distincte. Daca \( p_j = p_m \), are loc \( n \le \min ( q_j, q_m ) \ | \ |m - j| < n \), contradictie pentru \( m \neq j \).
Pentru \( a + j \)-urile cu cel putin \( n \) factori primi distincti, alegem \( p_j \) diferite de cele alese anterior.