IMAC Juniori II 15 mai 2010 Subiectul I

[Andi Brojbeanu]

Comparati numerele \( \frac{7777777773}{7777777778} \) si \( \frac{8888888882}{8888888887} \).
Republica Moldova

[andreiilie]

Metoda 1

Pe primul il scriem ca \( 1-\frac{5}{7777777778} \), iar pe al doilea ca \( 1-\frac{5}{8888888887} \) Evident, din primul scadem din 1 ceva mai mare decat ce scadem din 1 din al doilea, deci \( RHS>LHS \)[/i]

[andreiilie]

Metoda 2
( mai generala)

\( LHS= \frac{x}{x+n} \) de comparat cu \( RHS= \frac{y}{y+n} \)
unde
\( x<y \)
si x,y si n numere pozitive

Inmultim ambele relatii cu \( (x+n) \) si \( (y+n) \)

Cum x+n si y+n pozitive, comparatia dintre \( LHS \) si \( RHS \) este echivalenta cu compararea \( x(y+n) \) si a lui \( y(x+n) \) adica, cu a lui
\( xn \) si \( yn \), deci cu a lui \( x \) cu \( y \), dar stim \( x<y \) \( => RHS>LHS \)

Mai e si o Metoda 3, prin inductie, pe care o pun maine:)