Determinati matricele \( A\in M_{2}(\mathbb{Q}) \) astfel incat sa avem
\( A^3+A=I_{2} \).
Marius Cavachi
Matrice rationala de ordinul 2 cu A^3+A=I_2
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Radu Titiu, Marius Dragoi
-
Cezar Lupu
- Site Admin
- Posts: 612
- Joined: Wed Sep 26, 2007 2:04 pm
- Location: Bucuresti sau Constanta
- Contact:
Matrice rationala de ordinul 2 cu A^3+A=I_2
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.
-
Bogdan Posa
- Pitagora
- Posts: 77
- Joined: Fri Dec 14, 2007 3:47 pm
- Location: Motru , Gorj , Romania
- Contact:
Fie \( x_{1},x_{2},x_{3} \) radacinile ecuatiei \( x^3+x-1=0 \). Valorile proprii se afla printe aceste trei radacini.
Daca ambele sunt \( x_{1} \) (sa zicem), atunci \( Tr(A)=2x_{1} \). Urma fiind din Q obtinem ca \( x_{1} \) este din Q, dar ecuatia considerata de noi nu are nici o radacina din Q.
Daca \( x_{1},x_{2} \) sunt valori proprii ale matricei A, atunci \( x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \) (Viete), de unde obtinem ca \( x_{3} \) este din Q care din nou reprezinta o contradictie.
Deci nu exista nici o matrice cu proprietatea din enunt.
Sper ca nu am gresit de undeva.
Daca ambele sunt \( x_{1} \) (sa zicem), atunci \( Tr(A)=2x_{1} \). Urma fiind din Q obtinem ca \( x_{1} \) este din Q, dar ecuatia considerata de noi nu are nici o radacina din Q.
Daca \( x_{1},x_{2} \) sunt valori proprii ale matricei A, atunci \( x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \) (Viete), de unde obtinem ca \( x_{3} \) este din Q care din nou reprezinta o contradictie.
Deci nu exista nici o matrice cu proprietatea din enunt.
Sper ca nu am gresit de undeva.
-
Marius Dragoi
- Thales
- Posts: 126
- Joined: Thu Jan 31, 2008 5:57 pm
- Location: Bucharest
Polinomul \( P(X)=X^3+X-1 \) este ireductibil in \( \mathbb{Q} \). Cum polinomul minimal \( m(X) \) al lui \( A \) divide \( P(X) \) inseamna ca \( m(X)=P(X) \) (fals, deoarece \( \deg(m(X))<3=\deg(P(X)) \)) sau \( m(X)=1 \) (imposibil). Asadar nu exista matrice \( A \) din \( M_2(Q) \) astfel incat \( A^3+A=I_2 \).
Cred ca nu am gresit cu nimic...
Cred ca nu am gresit cu nimic...