Densitate Lebesgue

[Alin Galatan]

Am o mica nedumerire legat de ce este densitatea Lebesgue.
Intr-un curs, am gasit ca e definita ca fiind \( d_E(x)=lim_{0\leq h,k\to 0}\frac{\lambda(E\cap (x-h,x+k))}{h+k} \), unde \( \lambda \) e masura Lebesgue.
Pe wiki in schimb, se ia k=h (adica intersecteaza cu bilele centrate in x).
Am gasit un exercitiu care zice ca pentru \( E=\cup (\frac{1}{2^{n+1}},\frac{1}{2^n}) \), densitatea in 0 e \( \frac{1}{4} \). De ce? Cu prima definite mie imi da ca nu exista (ceea ce e suspect), iar cu a doua imi da \( \frac{1}{2} \).

[Liviu Paunescu]

Pai \( E=[0,1/2] \) a.p.t. si multimile de masura nula nu se vad la densitate. Deci e 1/2 cu a doua definitie si nu exista cu prima. Sunt destul de sigur ca e ceva de genul \( \cup(\frac{1}{2^{2n+1}},\frac{1}{2^{2n}}) \) si asa iese 1/4.

Referitor la cele doua definitii, nu ar fi primul caz cand pentru o notiune gasesti definitii diferite din surse diferite. Sunt destul de sigur oricum ca poti sa arati ca cele doua definitii sunt egale apt si la teoria masurii doar asta conteaza .