Nr. solutiilor ecuatiei x^k=1 intr-un grup se divide cu k?

[bae]

Fie G un grup de ordin n si k|n. Este adevarat ca numarul elementelor lui G de ordin un divizor al lui k este divizibil cu k? (Eventual pentru k liber de patrate.)

Reformulare: numarul solutiilor ecuatiei \( x^k=1 \) este divizibil cu k?

[spix]

Daca \( k \) e prim nu ar trebui numarul solutiilor sa fie congruent cu \( 1 \) mod \( k \)?

[Alin Galatan]

Daca \( k \) e prim nu ar trebui numarul solutiilor sa fie congruent cu \( 1 \) mod \( k \)?

Cauchy zice ca numarul celor care au ordin k (=prim) este -1 mod k. Daca il aduni si pe cel de ordin 1 (pentru ca se intreaba cate au ordin divizor al lui k), obtii multiplu de k.

[Dragos Fratila]

http://www.unl.edu/amc/a-activities/a7- ... ndex.shtml
Problema A5 cam este teorema lui Cauchy

Problema asta generala cu k este o teorema a lui Frobenius. Admite si o forma mai generala (vz [1]).
Referinte:
[1]. Curtis & Reiner - Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras - Teorema 41.8 si Corolarul 41.11
[2]. I. M. Isaacs; G. R. Robinson - On a Theorem of Frobenius: Solutions of x^n = 1 in Finite Groups, AMM vol 99, no 4. Apr. 1992
[3]. Solomon L. - On Schur's index and the solutions of g^n=1 in a finite group, J. Math Soc. Japan 13 (1961), 144-164