Seria lui Bertrand

[Cezar Lupu]

Fie \( p\in\mathbb{R} \). Sa se studieze convegenta seriei \( \sum_{n\geq 2}\frac{1}{n (lnn)^{p}} \).

[pevcipierdut]

Daca p<=0, atunci seria e minorata de seria armonica (seria de termen general \( \frac{1}{n} \)) deci in acest caz seria Bertrand diverge.
Daca p>0, atunci functia \( f:[2,+\infty]-> R_{+}^{*} \), \( f(x)=(1/x)(ln(x)^p) \), este continua si descrescatoare, deci pentru orice \( k\geq2 \) avem \( \int^{k+1}_{k}[1/(x(ln(x)^p))]dx\leq[1/(k(ln(k)^p))] \leq\int^{k}_{k-1}[1/(x(ln(x)^p))]dx \).
Avand aceasta incadrare, prin sumare de la 2 la n obtinem ca seria Bertrand din enunt este de aceeasi natura cu integrala \( \int^{n}_{2}[1/(x(ln(x)^p))]dx \). Pt f cunoastem o primitiva: \( (ln(x)^(1-p))/1-p \) daca \( p\neq 1 \) si \( ln(ln(x)) \) daca p=1.
Deci seria Bertrand converge daca si numai daca p>1.

[Cezar Lupu]

O solutie mai simpla se obtine daca aplicam criteriul condensarii al lui Cauchy de la serii de numere reale, care afirma ca daca ai un sir de numere reale pozitive, sa zicem, \( (x_{n})_{n} \), atunci seria \( \sum_{n\geq 1}x_{n} \) are aceeasi natura cu seria \( \sum_{n\geq 1} 2^nx_{2^n} \).
Acum sa trecem la problema noastra. Pai, daca \( p\leq 0 \) atunci avem inegalitatea evidenta \( \frac{1}{n}\leq\frac{1}{n(ln n)^{p}} \), deci in acest caz seria noastra este minorata de seria armonica \( \sum_{n\geq 2}\frac{1}{n} \) care se stie ca este divergenta. Acum sa consideram \( p>0 \). Conform cu citeriul lui Cauchy enuntat mai sus, avem ca seria noastra este de aceeasi natura cu seria \( \sum_{n\geq 2}\frac{1}{(ln 2)^{p}}\cdot\frac{1}{n^{p}} \). Acum seria noastra se reduce la celebra serie armonica generalizata, care se stie ca este convergenta daca \( p>1 \) si divergenta daca \( 0\leq p\leq 1 \). De aici, se cam incheie demonstratia.

[pevcipierdut]

Da, marfa. Am uitat de criteriul de care zici tu, e foarte folositor la serii. Chiar si demonstratia crieteriului e simpa. Grupezi pe pachete de cate \( 2^k \) si majorezi fiecare pachet ca doar termenul general descreste.

[pevcipierdut]

Daca tot vorbeam de sumarea pe pachete si de seria armonica generalizata haideti sa va propun o problema:

Sa se studieze, dupa valorile lui a real, seria cu termenul general \( \frac{(-1)^{[\sqrt{n}]} }{ n^a} \), unde [] este partea intreaga.