Sir de functii continue convergente la o functie continua

Dragos Fratila · Post by **Dragos Fratila** » Thu Jan 10, 2008 11:05 am

Daca am un sir de functii continue pe [0,1] care converg punctual la o functie continua, atunci converg uniform?
Altfel spus daca \( (f_n) \) e un sir de functii care converge la 0 atunci \( g_n(x) = \sup_{x\in[0,1]}f_n(x) \) converge la 0?

Post by **Alin Galatan** » Thu Jan 10, 2008 2:26 pm

Nu cred. Motivul e unul "nematematic". Daca ar fi adevarat, atunci ar fi mult mai tare decat teorema lui Dini, care impune ca sirul \( f_n \) sa fie crescator si pozitiv. Acum tot ce trebuie e sa gasim un contraexemplu.
[Edit:] Gasit si contraexemplu. Voi pune graficul si nu forma analitica, deoarece spune mai multe.

Evident sirul tinde punctual, catre 0, care e continua, dar neuniform, deoarece norma oricarui \( f_n \) e 1.

Pentru mai multe informatii despre Dini si contra-exemple,
http://www.math.ubc.ca/~feldman/m321/dini.pdf
De aici am luat si eu exemplul, ca nu m-a dus pe mine capul

Dragos Fratila · Post by **Dragos Fratila** » Thu Jan 10, 2008 2:45 pm

Aa, tare contraexemplul.
Stiam de thm lui Dini, dar mai gasisem si ceva mai general decat asta si ma gandeam ca cine stie, poate merge...

Sa inteleg ca in exemplu functia ajunge pana la 1 acolo, nu? Adica intre 1/n si 2/n varful e 1.

Post by **Alin Galatan** » Thu Jan 10, 2008 2:47 pm

Da, e 1 varful pentru orice \( f_n \).