Intrebare legata de serii de functii

[Alin Galatan]

Sa presupunem ca avem niste functii continue pozitive \( f_n:R\to R \) si ca \( \sum f_n \) converge uniform pe \( [1,\infty) \) catre o functie (continua) f.
Intrebare: Exista un \( \eps > 0 \) , astfel ca \( \sum f_n \) sa convearga (macar punctual) pe \( (1-\eps, \infty) \) ??

[aleph]

Evident ca nu. Orice functie \( f_n: [1, \infty)\rightarrow\mathbb{R} \) poate fi prelungita la stanga lui 1 prin \( x \mapsto f_n(1) + 1 - x \).

[Alin Galatan]

Da, aflasem si eu raspunsul aseara de la cineva, nu stiu cum de nu m-a dus capul. Pe mine de fapt ma interesau niste \( f_n ={a_n} ^x \), unde \( \sum a_n<\infty \), dar cred ca si aici poat fi gasit un contraexemplu.