AB si BA au acelasi polinom caracteristic

[Alin Galatan]

Fie A,B doua matrice patratice. Demonstrati ca \( \det(AB-xI)=\det(BA-xI) \)
Cum difera polinoamele caracteristice, daca matricele A,B nu sunt patratice?

[Beniamin Bogosel]

Daca una dintre \( A,\ B \) este inversabila, de ex. \( A \), atunci
\( \det(AB-xI)=\det(A)\det(B-xA^{-1})=\det(B-xA^{-1})\det(A)=\det(BA-xI) \).

Daca niciuna dintre matrice nu este inversabila, atunci \( A-\lambda I \) este neinversabila pentru un numar finit de valori ale lui \( \lambda \). Fie \( g(\lambda)=\det((A-\lambda I)B-xI)-\det(B(A-\lambda I)-xI) \). Atunci din faptul ca \( A \) este inversabila pentru o infinitate de valori ale lui \( \lambda \) rezulta ca \( g \), care este un polinom de grad mai mic decit ordinul matricilor, se anuleaza de o infinitate de ori. Deci \( g \) este polinomul nul. Atunci \( g(0)=0 \) care ne duce la rezultatul dorit.

[Radu Titiu]

Cum difera polinoamele caracteristice, daca matricele A,B nu sunt patratice?

Fie \( A\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{C}) \) si \( B\in\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{C}) \). Atunci \( X^nP_{AB}(X)=X^mP_{BA}(X) \).