Fie \( a=(a_n)_{n\geq 0} \) un vector din spatiul Banach complex \( l_1 \), adica \( ||a||_1=\sum_{n=0}^\infty |a_n|<\infty \). Consideram \( S \) operatorul de translatie unilaterala pe \( l_1 \), adica \( S(x_0,x_1,x_2,\ldots)=(0,x_0,x_1,\ldots) \). Demonstrati ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
(a) Multimea \( \{a,Sa,S^2a,\ldots\} \) este totala in \( l_1 \) (adica spatiul inchis generat de aceasta multime coincide cu \( l_1 \)).
(b) Functia \( f:\Delta\rightarrow \mathbb{C} \) definita prin \( f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nz^n \) nu se anuleaza pe discul unitate inchis \( \Delta=\{z\in\mathbb{C}\ :\ |z|\leq 1\} \).
Nota bene: Un vector \( a \) care indeplineste conditia (a) se numeste ciclic (pentru operatorul de translatie).
Vector ciclic in l_1
Moderator: Liviu Paunescu
Vector ciclic in l_1
Viata este complexa: are atat parte reala cat si parte imaginara.
-
Alexandru Chirvasitu
- Euclid
- Posts: 47
- Joined: Sat Oct 06, 2007 4:53 pm
Foarte frumos 
.
\( \ell^1 \) se poate organiza ca algebra Banach comutativa dupa cum urmeaza: pe \( \ell^1(\mathbb Z) \) avem structura de algebra Banach comutativa data de convolutie, si e clar ca \( \ell^1 \) e subspatiu liniar stabil in raport cu convolutiile si inchis in \( \ell^1(\mathbb Z) \). Legatura cu functiile olomorfe se face prin observatia ca daca normam algebra tuturor functiilor continue pe \( \Delta \) care restrictionate la discul unitate deschis sunt olomorfe de forma \( \sum_{n\ge 0}a_nz^n \) cu \( a=(a_n)\in\ell^1 \) cu norma \( ||a||_1 \), algebra considerata va deveni algebra Banach, si o putem identifica acum cu structura de algebra Banach comutativa pe \( \ell^1 \) definita anterior. O sa notez algebra asta cu \( \mathcal A \).
In \( \mathcal A \) operatorul \( S \) coincide cu inmultirea cu functia variablia curenta \( \zeta\in\mathcal A \) (definita dupa cum sugereaza si numele prin \( \zeta(z)=z,\ \forall z\in\Delta \)). Cum polinoamele formeaza o multime densa in \( \mathcal A \), spatiul inchis generat de iteratiile lui \( f\in\mathcal A \) prin \( S \) va fi chiar idealul generat de \( f \). Cu alte cuvinte, spatiul asta va fi intreg \( \mathcal A \) daca si numai daca nu exista nici un morfism de algebre \( \mathcal A\to\mathbb C \) care sa se anuleze pe \( f \). Demonstratia o sa fie deci incheiata daca arat ca toate morfismele complexe ale algebrei \( \mathcal A \) sunt evaluarile in punctele lui \( \Delta \).
Afirmatia de mai sus e usor de demonstrat: orice morfism complex \( \varphi \) are norma cel mult \( 1 \), deci o sa duca \( \zeta \) intr-un punct \( z\in\Delta \). Acum din multiplicativitate si aditivitate rezulta ca \( \varphi(p)=p(z) \) pentru orice polinom \( p \), si cum polinoamele sunt dense in \( \mathcal A \) va rezulta ce voiam, anume ca \( \varphi(f)=f(z),\ \forall f\in\mathcal A \).
.\( \ell^1 \) se poate organiza ca algebra Banach comutativa dupa cum urmeaza: pe \( \ell^1(\mathbb Z) \) avem structura de algebra Banach comutativa data de convolutie, si e clar ca \( \ell^1 \) e subspatiu liniar stabil in raport cu convolutiile si inchis in \( \ell^1(\mathbb Z) \). Legatura cu functiile olomorfe se face prin observatia ca daca normam algebra tuturor functiilor continue pe \( \Delta \) care restrictionate la discul unitate deschis sunt olomorfe de forma \( \sum_{n\ge 0}a_nz^n \) cu \( a=(a_n)\in\ell^1 \) cu norma \( ||a||_1 \), algebra considerata va deveni algebra Banach, si o putem identifica acum cu structura de algebra Banach comutativa pe \( \ell^1 \) definita anterior. O sa notez algebra asta cu \( \mathcal A \).
In \( \mathcal A \) operatorul \( S \) coincide cu inmultirea cu functia variablia curenta \( \zeta\in\mathcal A \) (definita dupa cum sugereaza si numele prin \( \zeta(z)=z,\ \forall z\in\Delta \)). Cum polinoamele formeaza o multime densa in \( \mathcal A \), spatiul inchis generat de iteratiile lui \( f\in\mathcal A \) prin \( S \) va fi chiar idealul generat de \( f \). Cu alte cuvinte, spatiul asta va fi intreg \( \mathcal A \) daca si numai daca nu exista nici un morfism de algebre \( \mathcal A\to\mathbb C \) care sa se anuleze pe \( f \). Demonstratia o sa fie deci incheiata daca arat ca toate morfismele complexe ale algebrei \( \mathcal A \) sunt evaluarile in punctele lui \( \Delta \).
Afirmatia de mai sus e usor de demonstrat: orice morfism complex \( \varphi \) are norma cel mult \( 1 \), deci o sa duca \( \zeta \) intr-un punct \( z\in\Delta \). Acum din multiplicativitate si aditivitate rezulta ca \( \varphi(p)=p(z) \) pentru orice polinom \( p \), si cum polinoamele sunt dense in \( \mathcal A \) va rezulta ce voiam, anume ca \( \varphi(f)=f(z),\ \forall f\in\mathcal A \).
Adaug cateva comentarii pentru forumistii mai putin experimentati si care poate sunt interesati sa analizeze aceasta problema si solutia data de Grobber din mai multe puncte de vedere. Utilizand algebra \( \mathcal{A} \) introdusa de Grobber si observatia lui ca subspatiul inchis \( \mathcal{L} \) generat de \( \{a,Sa,S^2a,\ldots\} \) se identifica cu idealul inchis generat de \( f \) in \( \mathcal{A} \), se poate evita ultima parte din demonstratia lui Grobber aratand, in mod independent, ca afirmatiile (a) si (b) sunt echivalente cu urmatoarea afirmatie:
(c) \( (1,0,0,0,\ldots)\in\mathcal{L} \).
Daca mergeti pe aceasta cale, apare mai clara legatura cu vectori ciclici si subspatii invariante: \( \mathcal{L} \) este cel mai mic suspatiu inchis care contine \( a \) si care este invariant la operatorul de translatie \( S \).
In demonstratia lui Grobber, ultima parte este, de fapt, afirmatia ca spectrul maximal (spatiul idealelor maximale, sau spectrul Gelfand) al algebrei \( \mathcal{A} \) se identifica in mod natural cu discul unitate inchis \( \Delta \) din planul complex, ceea ce este in sine un rezultat care merita retinut.
Tot in legatura cu aceasta "problema", trebuie remarcat, ca o idee subiacenta, urmatoarea afirmatie care rezulta de aici: Fiind data o functie \( f\in\mathcal{A} \) cu proprietatea ca nu se anuleaza pe discul unitate inchis, atunci functia inversa \( g=1/f\in\mathcal{A} \). Dificultatea acestei afirmatii consta in aceea ca, daca analiticitatea functiei \( g \) este clara, nu acelasi lucru se poate spune si despre absolut sumabilitatea coeficientilor Taylor ai functiei \( g \).
In fine, ultima remarca: "problema" este in legatura cu o teorema importanta a lui N. Wiener din analiza armonica iar ideea acestei probleme vine din demonstratia data de Gelfand cu tehnici de algebre Banach comutative, si nu imi apartine: este un exercitiu din cartea lui Arveson "A Short Course on Spectral Theory".
(c) \( (1,0,0,0,\ldots)\in\mathcal{L} \).
Daca mergeti pe aceasta cale, apare mai clara legatura cu vectori ciclici si subspatii invariante: \( \mathcal{L} \) este cel mai mic suspatiu inchis care contine \( a \) si care este invariant la operatorul de translatie \( S \).
In demonstratia lui Grobber, ultima parte este, de fapt, afirmatia ca spectrul maximal (spatiul idealelor maximale, sau spectrul Gelfand) al algebrei \( \mathcal{A} \) se identifica in mod natural cu discul unitate inchis \( \Delta \) din planul complex, ceea ce este in sine un rezultat care merita retinut.
Tot in legatura cu aceasta "problema", trebuie remarcat, ca o idee subiacenta, urmatoarea afirmatie care rezulta de aici: Fiind data o functie \( f\in\mathcal{A} \) cu proprietatea ca nu se anuleaza pe discul unitate inchis, atunci functia inversa \( g=1/f\in\mathcal{A} \). Dificultatea acestei afirmatii consta in aceea ca, daca analiticitatea functiei \( g \) este clara, nu acelasi lucru se poate spune si despre absolut sumabilitatea coeficientilor Taylor ai functiei \( g \).
In fine, ultima remarca: "problema" este in legatura cu o teorema importanta a lui N. Wiener din analiza armonica iar ideea acestei probleme vine din demonstratia data de Gelfand cu tehnici de algebre Banach comutative, si nu imi apartine: este un exercitiu din cartea lui Arveson "A Short Course on Spectral Theory".
Viata este complexa: are atat parte reala cat si parte imaginara.