Sir cu derivate

[bae]

Fie \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) o functie indefinit derivabila cu proprietatea ca exista \( M>0 \) astfel incat \( |f^{(n)}(1)|<M \) pentru orice \( n\in\mathbb{N} \). Sa se arate ca sirul \( (x_n)_{n\ge 1} \) definit prin
\( x_n=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{f^{(k-1)}(1)}{k!} \)
este convergent si sa se calculeze limita sa.

GM 1/1995