Fie \( z \in \mathbb{C}^* \) astfel incat \( z+\frac{1}{z}=-\sqrt{3} \) si \( E_{n}=z^n+\frac{1}{z^n}, n\in \mathbb{N}^* \). Determinati multimea \( \left{E_{n} | n\in \mathbb{N}^*\right} \).
OLM Constanta 2008, Prof. Gheorghe Andrei
O expresie cu numere complexe
Moderators: Filip Chindea, Andrei Velicu, Radu Titiu
-
Andrei Velicu
- Euclid
- Posts: 27
- Joined: Wed Oct 17, 2007 9:20 am
- Location: Constanta
O expresie cu numere complexe
Last edited by Andrei Velicu on Mon Jan 28, 2008 8:13 pm, edited 1 time in total.
Fie \( z = r(\cos{a} + i \sin{a}) \) unde \( r > 0 \) si \( a \in [0;2\pi) \) .
Expresia din ipoteza devine :
\( \cos{a}(r+ \frac{1}{r}) + i \sin{a}(r - \frac{1}{r}) = - \sqrt{3} \) .
de aici rezulta ca \( r = 1 \) (partea imaginara trebuie sa fie 0 ) ;
Apoi , inlocuind in relatia din ipoteza , avem :
\( 2 \cos{a} = - \sqrt{3} \) . De aici se disting doua cazuri .
1.) \( a = \frac{5\pi}{6} \Rightarrow E_n = 2 \cdot \cos{n \frac{5\pi}{6}} \) .
2.) \( a = \frac{7\pi}{6} \Rightarrow E_n = 2 \cdot \cos{n \frac{7\pi}{6}} \) .
Expresia din ipoteza devine :
\( \cos{a}(r+ \frac{1}{r}) + i \sin{a}(r - \frac{1}{r}) = - \sqrt{3} \) .
de aici rezulta ca \( r = 1 \) (partea imaginara trebuie sa fie 0 ) ;
Apoi , inlocuind in relatia din ipoteza , avem :
\( 2 \cos{a} = - \sqrt{3} \) . De aici se disting doua cazuri .
1.) \( a = \frac{5\pi}{6} \Rightarrow E_n = 2 \cdot \cos{n \frac{5\pi}{6}} \) .
2.) \( a = \frac{7\pi}{6} \Rightarrow E_n = 2 \cdot \cos{n \frac{7\pi}{6}} \) .