Sistem de ecuatii cu numere complexe

[Andrei Velicu]

Fie \( m, n \in \mathbb{N}^*, m>n \) date. Determinati toate numerele complexe \( z \) care verifica relatiile: \( |z^m+1|=|z^n-1| \), \( |z^n+1|=|z^m-1| \).

OLM Constanta 2008, Prof. Nelu Chichirim

[turcas]

Fie \( z= r(\cos{a} + i \sin{a}) , r > 0 \text{ si } a \in [0;2\pi) \) .
Notam relatiile \( |z^m+1|=|z^n-1| \) (1) , \( |z^n+1|=|z^m-1| \) (2); .

Ridicand ambele relatii la patrat , obtinem :

\( (r^m \cos{ma} + 1)^2 + (r^m \sin{ma})^2 = (r^n \cos{na} -1)^2 + (r^n \sin{na})^2 . (1) \)
\( (r^n \cos{na} + 1)^2 + (r^n \sin{na})^2 = (r^m \cos{ma}-1)^2 + (r^m \sin{ma})^2 (2) \) .

Scazand membru cu membru cele doua relatii , obtinem :

\( 2 \cdot r^{2m} \cos^2{ma} + 2 \cdot r^{2m} \sin^2{ma} + 2 = 2 \cdot r^{2n} \cos^2{na} + 2 \cdot r^{2n} \sin^2{na} + 2 \) . Adica ,

\( r^{2m} = r^{2n} \Rightarrow r = 1 \) .

Atunci , relatiile devin :

\( (\cos{ma} + 1)^2 + \sin^2{ma} = (\cos{na}-1)^2 + \sin^2{na} \) (1)
\( (\cos{na}+1)^2 + \sin^2{na} = (\cos{ma}-1)^2 + \sin^2{ma} \) (2).

Adunand relatiile membru cu membru , obtinem

\( \cos{ma} = - \cos{na} \) .

[Marius Perianu]

Din ipoteză obţinem că \( (z^m+1)(\overline {z}^m+1)=(z^n-1)(\overline {z}^n-1) \) şi \( (z^m-1)(\overline {z}^m-1)=(z^n+1)(\overline {z}^n+1) \). Adunând aceste două relaţii, rezultă \( |z|^{2m}=|z|^{2n} \), de unde \( |z|=0 \) sau \( |z|=1 \). Dacă \( |z|=1 \), deducem că \( z^m+ \overline{z}^m+z^n+ \overline{z}^n=0 \), de unde \( z^n(z^{m-n}+1)(z^{m+n}+1)=0 \).

Tinand cont si de indicatie , problema se reduce la a determina numarul de solutii comune ale ecuatiilor \( z^p=-1 \) şi \( z^q=-1 \), unde \( p,q \in \mathbb{N}^* \) (în cazul nostru \( p=m+n \) şi \( q=m-n \)).
Vom nota \( z_{k}=\cos \frac{\left( 2k+1\right) \pi }{p}+i \sin\frac{\left( 2k+1\right) \pi }{p} \), \( k=\overline {0,p-1} \) soluţiile ecuaţiei \( z^p=-1 \) şi \( w_{j}=\cos \frac{\left( 2j+1\right) \pi }{q}+i \sin \frac{\left(2j+1\right) \pi }{q} \), \( j=\overline {0,q-1} \) soluţiile ecuaţiei \( z^q=-1 \).
Faptul că cele două ecuaţii au soluţii comune se traduce prin existenţa numerelor naturale \( k \in \{0,1,...,p-1\} \) si \( j \in \{0,1,...,q-1\} \) astfel încât \( z_{k}=w_{j} \). Fără efort obţinem egalitatea \( \frac{2k+1}{p}=\frac{2j+1}{q} \). Fie \( d=(p,q), \ p=dp_{1}, \ q=dq_{1} \); rezultă \( (p_{1},q_{1})=1 \) şi \( (2k+1)q_{1}=(2j+1)p_{1} \ \). (1)
Se observă ca daca unul dintre \( p_{1} \) sau \( q_{1} \) este par (nu pot fi ambele pare!), egalitatea (1) nu poate avea loc.
Dacă \( p_{1} \) şi \( q_{1} \) sunt impare, atunci fie \( a \in \mathbb{N} \) impar, astfel încât \( 2k+1=ap_{1} \).
Atunci \( 0 \leq k \leq p-1 \Rightarrow 1 \leq 2k+1 \leq 2p-1 \Rightarrow 1 \leq ap_{1} \leq 2dp_{1}-1 \Rightarrow \frac{1}{p_{1}} \leq a \leq 2d - \frac{1}{p_{1}} \), deci \( a \) ia toate valorile impare din mulţimea \( \{1,2,...,2d-1\} \), adică exact \( d \) valori. Ca urmare, cele două ecuaţii au \( d \) rădăcini comune.
Recapitulând:
- dacă \( p_{1}q_{1}=\frac{pq}{d^2} \) este par, ecuaţiile \( z^p=-1 \) şi \( z^q=-1 \) nu au rădăcini comune;

- dacă \( p_{1}q_{1}=\frac{pq}{d^2} \) este impar, ecuaţiile \( z^p=-1 \) şi \( z^q=-1 \) au \( d \) rădăcini comune.