a) Fie \( X\in M_{2}(\mathbb{C}) \) o matrice. Demonstrati echivalenta:
\( \det(X+I_{2})=\det(X-I_{2})\Leftrightarrow tr(X)=0 \).
b) Fie \( A\in M_{2}(\mathbb{C}) \) o matrice astfel incat exista \( k\in\mathbb{N}^{*} \) astfel incat sa avem
\( \det(A^{l}+I_{2})=\det(A^{l}-I_{2}) \),
pentru \( l\in\{k, k+1\} \).
Demonstrati ca \( A^{n}=O_{2}, \forall n\in\mathbb{N}, n\geq 2 \).
Nelu Chichirim, Olimpiada locala Constanta, 2008
Matrice de ordin 2 nilpotenta
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Radu Titiu, Marius Dragoi
-
Tudorel Lupu
- Euclid
- Posts: 15
- Joined: Mon Oct 01, 2007 8:58 pm
- Location: Constanta
-
Radu Titiu
- Thales
- Posts: 155
- Joined: Fri Sep 28, 2007 5:05 pm
- Location: Mures \Bucuresti
a) Daca \( \det(A-xI)=x^2-Tr(A)x+\det(A) \) atunci din egalitatea \( \det(A+I)=\det(A-I) \) rezulta ca 2Tr(A)=0 de unde concluzia, Tr(A)=0.
b) Din punctul precedent rezulta ca \( Tr(A^k)=Tr(A^{k+1})=0 \Leftrightarrow \) \( x_1^k+x_2^k=0 \) si \( x_1^{k+1}+x_2^{k+1}=0 \), unde \( x_1 \) si \( x_2 \) sunt valorile proprii ale matricei A. Din acest sistem rezulta necesar \( x_1=x_2=0 \) si din teorema lui Caley-Hamilton obtinem \( A^2=0 \).
b) Din punctul precedent rezulta ca \( Tr(A^k)=Tr(A^{k+1})=0 \Leftrightarrow \) \( x_1^k+x_2^k=0 \) si \( x_1^{k+1}+x_2^{k+1}=0 \), unde \( x_1 \) si \( x_2 \) sunt valorile proprii ale matricei A. Din acest sistem rezulta necesar \( x_1=x_2=0 \) si din teorema lui Caley-Hamilton obtinem \( A^2=0 \).
A mathematician is a machine for turning coffee into theorems.