Sa se calculeze:
\( \lim_{n\to\infty}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin (n^4\cos t)dt \).
Olimpiada locala Bucuresti, 2008
Limita din integrala de functii trigonometrice
Moderators: Bogdan Posa, Beniamin Bogosel, Marius Dragoi
\( n^4 \) este pus doar pentru derutarea "adversarului".
Are loc chiar chiar
\( \lim_{x\to\infty}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin (x\cos t)dt = 0. \)
După o schimbare de variabilă \( \cos t = u \) se poate aplica Lema Riemann-Lebesgue şi gata!
Problema este însă că după schimbarea de variabilă integrala devine improprie (sau Lebesgue) iar în liceu lema e cunoscută doar pentru integrala Riemann. Se poate ieşi din impas descompunând intervalul în \( [0,a] \) şi \( [a,\pi/2] \) cu \( a \) ales suficient de mic ...
Pe al doilea interval se poate utiliza lema lui Riemann sau se integrează prin părţi.
Are loc chiar chiar
\( \lim_{x\to\infty}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin (x\cos t)dt = 0. \)
După o schimbare de variabilă \( \cos t = u \) se poate aplica Lema Riemann-Lebesgue şi gata!
Problema este însă că după schimbarea de variabilă integrala devine improprie (sau Lebesgue) iar în liceu lema e cunoscută doar pentru integrala Riemann. Se poate ieşi din impas descompunând intervalul în \( [0,a] \) şi \( [a,\pi/2] \) cu \( a \) ales suficient de mic ...
Pe al doilea interval se poate utiliza lema lui Riemann sau se integrează prin părţi.
-
Cezar Lupu
- Site Admin
- Posts: 612
- Joined: Wed Sep 26, 2007 2:04 pm
- Location: Bucuresti sau Constanta
- Contact:
Sub forma asta:bae wrote:Puteti sa-mi spuneti si mie atunci forma in care este cunoscuta aceasta lema la nivel de liceu, ca tot nu am inteles?aleph wrote:...iar în liceu lema e cunoscută doar pentru integrala Riemann.
Lema (Riemann-Lebesgue)
Fie \( f:[a,b]\to\mathb{R} \) o functie integrabila. Atunci avem:
\( \lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\sin nx=\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\cos nxdx=0 \).
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.
Lema R-L în cazul particular care interesează:
Dacă \( f : [a,b] \to \mathbb{R} \) este continuă atunci
\( \lim_{x \to \infty} \int_a^b f(t) sin(xt) dt = 0 \).
Demonstraţia e simplă în acest caz: integrare prin părţi dupa cum urmeaza:
Cazul 1. \( f \) are derivată continuă.
(de fapt acesta este cazul care e necesar în problemă, şi la el m-am gândit când am făcut observaţia cu integrarea prin părţi).
\( \int_a^b f(t) \sin(xt) dt = \frac{1}{x} \( \int_a^b f^\prime(t) \cos(xt) dt
+ f(a)\cos(ax) - f(b)\cos(bx) \) \)
iar paranteza este mărginită ca funcţie de \( x \).
Cazul 2. \( f \) este continuă. Se aproximează (uniform) cu un polinom (sau cu o funcţie scară) şi se aplică apoi cazul 1.
Dacă \( f : [a,b] \to \mathbb{R} \) este continuă atunci
\( \lim_{x \to \infty} \int_a^b f(t) sin(xt) dt = 0 \).
Demonstraţia e simplă în acest caz: integrare prin părţi dupa cum urmeaza:
Cazul 1. \( f \) are derivată continuă.
(de fapt acesta este cazul care e necesar în problemă, şi la el m-am gândit când am făcut observaţia cu integrarea prin părţi).
\( \int_a^b f(t) \sin(xt) dt = \frac{1}{x} \( \int_a^b f^\prime(t) \cos(xt) dt
+ f(a)\cos(ax) - f(b)\cos(bx) \) \)
iar paranteza este mărginită ca funcţie de \( x \).
Cazul 2. \( f \) este continuă. Se aproximează (uniform) cu un polinom (sau cu o funcţie scară) şi se aplică apoi cazul 1.