Fie \( f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R} \) o functie derivabila cu derivata marginita. Sa se arate ca
\( \int_0^1f^2(x)dx-(\int_0^1f(x)dx)^2\le \frac{1}{12}\;(\sup_{x\in[0,1]}|f^{\prime}(x)|)^2 \).
GM 8/1995; enunt corectat
PS In GM 8/1995 problema apare cu un enunt gresit, adica cu \( \frac{1}{12}\;\cdot\sup_{x\in[0,1]}|f^{\prime}(x)| \) in partea dreapta. Evident ca o functie de forma cx, c>1, nu satisface inegalitatea in forma data acolo.
Inegalitate integrala pentru o functie cu derivata marginita
Moderators: Bogdan Posa, Beniamin Bogosel, Marius Dragoi
Inegalitate integrala pentru o functie cu derivata marginita
Last edited by bae on Sat Mar 08, 2008 1:22 am, edited 2 times in total.
Notăm \( M=\sup \| f^{\prime}\| \), \( I=[0,1],\ D=I^{2} \).
Membrul stâng este:
\( \frac{1}{2}{\displaystyle\iint_{D}}\left( f(x)^{2}+f(y)^{2}\right)
dxdy-\int_{I}f(x)dx\int_{I}f(y)dy= \)
\( \frac{1}{2}{\displaystyle\iint_{D}}\left( f(x)^{2}+f(y)^{2}\right)
dxdy-{\iint_{D}}f(x)f(y)dxdy= \)
\( \frac{1}{2}{\displaystyle\iint_{D}}\left( f(x)-f(y)\right) ^{2}dxdy\leq \)
\( \frac{1}{2}M^{2}{\displaystyle\iint_{D}}\left( x-y\right) ^{2}
dxdy=M^{2}/12 \).
O soluţie la nivel de cl. 12 (fără integrale duble) se poate obtine prin discretizarea integralelor (sume Riemann şi trecere la limită) aplicând aceeaşi idee. Invit forumiştii să completeze detaliile.
Membrul stâng este:
\( \frac{1}{2}{\displaystyle\iint_{D}}\left( f(x)^{2}+f(y)^{2}\right)
dxdy-\int_{I}f(x)dx\int_{I}f(y)dy= \)
\( \frac{1}{2}{\displaystyle\iint_{D}}\left( f(x)^{2}+f(y)^{2}\right)
dxdy-{\iint_{D}}f(x)f(y)dxdy= \)
\( \frac{1}{2}{\displaystyle\iint_{D}}\left( f(x)-f(y)\right) ^{2}dxdy\leq \)
\( \frac{1}{2}M^{2}{\displaystyle\iint_{D}}\left( x-y\right) ^{2}
dxdy=M^{2}/12 \).
O soluţie la nivel de cl. 12 (fără integrale duble) se poate obtine prin discretizarea integralelor (sume Riemann şi trecere la limită) aplicând aceeaşi idee. Invit forumiştii să completeze detaliile.
-
Cezar Lupu
- Site Admin
- Posts: 612
- Joined: Wed Sep 26, 2007 2:04 pm
- Location: Bucuresti sau Constanta
- Contact:
Sau aplicand inegalitatea lui Cebasev, sub forma integrala.aleph wrote: O soluţie la nivel de cl. 12 (fără integrale duble) se poate obtine prin discretizarea integralelor (sume Riemann şi trecere la limită) aplicând aceeaşi idee. Invit forumiştii să completeze detaliile.
Solutie.
La fel ca in solutia precedenta notam \( M=\sup_{x\in [0,1]} |f^{\prime}| \).
Din \( |f^{\prime}|\leq M \) rezulta ca \( -M\leq f^{\prime}(x)\leq M, \forall x\in [0,1] \), de unde obtinem ca functiile \( g,h:[0,1]\to\mathbb{R} \) definite prin \( g(x)=f(x)-Mx \) si \( h(x)=f(x)+Mx \) sunt descrescatoare, respectiv crescatoare pe \( [0,1] \). Conform inegalitatii lui Cebasev, avem ca
\( \int_0^1(f(x)-Mx)(f(x)+Mx)dx\leq \left(\int_0^1(f(x)-Mx)dx\right)\left(\int_0^1(f(x)+Mx)dx\right)\Leftrightarrow \)
\( \int_0^1(f^{2}(x)-M^{2}x^{2})dx\leq\left(\int_0^1f(x)dx-\frac{M}{2}\right)\left(\int_0^1f(x)dx+\frac{M}{2}\right) \) care este echivalenta in cele din urma cu
\( \int_0^1f^{2}(x)dx-\frac{M^{2}}{3}\leq \left(\int_0^1f(x)dx\right)^{2}-\frac{M^{2}}{4} \), de unde concluzia problemei. \( \qed \)
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.
Intr-adevăr, soluţia e ingenioasă. Prima are însă avantajul că se geralizează imediat la cazul Holder: \( |f(x)-f(y)| \le M |x-y|^p \), cu \( 0 < p \le 1 \).Cezar Lupu wrote:Sau poate aplicand inegalitatea lui Cebasev, sub forma integrala.aleph wrote:O soluţie la nivel de cl. 12 (fără integrale duble) se poate obtine prin discretizarea integralelor (sume Riemann şi trecere la limită) aplicând aceeaşi idee. Invit forumiştii să completeze detaliile.