Sa se determine numerele naturale \( n \) pentru care valoarea integralei
\( \int_0^nx[x]\{x\}dx \) este numar intreg.
Valoarea integralei este numar intreg
Moderators: Bogdan Posa, Beniamin Bogosel, Marius Dragoi
-
Cezar Lupu
- Site Admin
- Posts: 612
- Joined: Wed Sep 26, 2007 2:04 pm
- Location: Bucuresti sau Constanta
- Contact:
Valoarea integralei este numar intreg
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.
-
Vlad Matei
- Pitagora
- Posts: 58
- Joined: Wed Sep 26, 2007 6:44 pm
- Location: Bucuresti
În urmă cu ceva timp, am postat o soluţie (sau dacă doriţi, un răspuns) obţinut cu Maple. Am considerat că nu este rău ca elevii să fie la curent cu faptul că un calculator poate fi utilizat şi la aşa ceva.
Moderatorul a preferat să o elimine şi să reţină un răspuns eronat obţinut "cu mâna".
Iată o soluţie completă (tot cu Maple);
> J:=factor(sum( int((z+k)*k*z,z=0..1),k=1..n-1));
\( n \left( 2\,n+1 \right) \left( n-1 \right)/12 \)
> msolve(numer(J),denom(J));
\( \{n = 0\}, \{n = 1\}, \{n = 4\}, \{n = 9\} \)
Răspunsul este deci \( n \in \{0,1,4,9} \) mod \( 12 \).
Observaţie.
Maple nu este infailibil. Observaţi că nu s-a folosit comanda aparent mai naturală
> int(x*floor(x)*frac(x),x=0..n);
deoarece ar fi dat un răspuns eronat, ci s-au explicitat funcţiile [.], {.}.
Motivul pentru care Maple nu poate da un răspuns corect la problema nemodificată este datorat fapului că se bazează pe o primitivă discontinuă a funcţiei
f(x) = x[x]{x}, primitivă care nu e valabilă decât pe intervale ce nu conţin numere întregi. Din păcate nu am timp pentru a dezvolta subiectul (poate că nici nu interesează), aşa încât mă opresc aici.[/b]
Moderatorul a preferat să o elimine şi să reţină un răspuns eronat obţinut "cu mâna".
Iată o soluţie completă (tot cu Maple);
> J:=factor(sum( int((z+k)*k*z,z=0..1),k=1..n-1));
\( n \left( 2\,n+1 \right) \left( n-1 \right)/12 \)
> msolve(numer(J),denom(J));
\( \{n = 0\}, \{n = 1\}, \{n = 4\}, \{n = 9\} \)
Răspunsul este deci \( n \in \{0,1,4,9} \) mod \( 12 \).
Observaţie.
Maple nu este infailibil. Observaţi că nu s-a folosit comanda aparent mai naturală
> int(x*floor(x)*frac(x),x=0..n);
deoarece ar fi dat un răspuns eronat, ci s-au explicitat funcţiile [.], {.}.
Motivul pentru care Maple nu poate da un răspuns corect la problema nemodificată este datorat fapului că se bazează pe o primitivă discontinuă a funcţiei
f(x) = x[x]{x}, primitivă care nu e valabilă decât pe intervale ce nu conţin numere întregi. Din păcate nu am timp pentru a dezvolta subiectul (poate că nici nu interesează), aşa încât mă opresc aici.[/b]