Echivalente cu arctangent

[Filip Chindea]

Consideram numerele reale pozitive \( x, y, z \). Aratati ca:

a) \( \arctan(x) + \arctan(y) < \frac{\pi}{2} \) daca si numai daca \( xy < 1 \).

b) \( \arctan(x)+ \arctan(y) + \arctan(z) < \pi \) daca si numai daca \( xyz < x + y + z \).

[turcas]

a) \( \arctan(x) + \arctan(\frac{1}{x}) + \arctan(y) - \arctan(\frac{1}{x}) < \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow \)

\( \arctan(y) < \arctan(\frac{1}{x}) \Leftrightarrow xy < 1 \).

Enuntul corect pentru punctul b) este
\( \arctan(x) + \arctan(y) + \arctan(z) < \pi \).

Inegalitatea este echivalenta cu

\( \arctan(z) < \arctan(\frac{1}{x}) + \arctan(\frac{1}{y}) \Longleftrightarrow \)

\( \arctan(z) + \arctan(-\frac{1}{y}) < \arctan(\frac{1}{x}) \).

Atunci, cunoastem formula

Pentru \( xy < 1 \) avem \( \arctan(x) + \arctan(y) = \arctan(\frac{x+y}{1-xy}) \) .

In cazul nostru \( z(-\frac{1}{y}) < 1 \). Inegalitatea de dovedit ramane:

\( \arctan(\frac{zy-1}{y+z}) < \arctan{\frac{1}{x}} \).

Mai exact, \( \frac{zy-1}{y+z} < \frac{1}{x} \).

Daca \( zy - 1 < 0 \) inegalitatea este evidenta, in caz contrar rezulta exact\( xyz < x + y + z \).