Ecuatii Diferentiale, anul II, semestrul 1, 30 ianurie 2008

[Diana Putan]

Examen: Ecuatii diferentiale ordinare
Profesor: A. Cernea

1. Ecuatii afine pe \( \mathbb{R}^{n} \). Principiul variatiei constantelor. Consecinte.

2. Fie ecuatiile:

\( (1)\; \left\{\begin{array}{c}
x\prime=\frac{x}{t}-\frac{y}{t}\\
y\prime=\frac{x}{t}+\frac{3y}{t}\end{array} \)

\( (2)\; \left{\begin{array}{c}
u\prime=u-v\\
v\prime=u+3v\end{array} \)

a) Sa se arate ca schimbarea de variabila \( t=e^s \) transforma ecuatia (1) in ecuatia (2).

b) Scrieti relatia dintre solutiile celor doua ecuatii.

c) Enuntati teorema de structura a solutiilor pentru ecuatii liniare cu coeficienti constanti pe \( \mathbb{R}^n \).

d) Aflati solutia generala a ecuatiei (2).

e) Aflati solutia generala a ecuatiei (1).


3. Se considera ecuatia

\( (1)\left\{\begin{array}{c}
x\prime=\frac{x^2-2t}{y}\\
y\prime=-x\end{array} \)

a) Definiti notiunea de integrala prima si enuntati criteriul pentru integrale prime.

b) Aratati ca \( F_{1}(.,.) \) cu \( F_{1}(t,(x,y))=t^2+xy \) este integrala prima.

c) Aflati solutia generala a ecuatiei (1).

d) Gasiti \( F_{2}(.,.) \) integrala prima astfel incat \( \{F_{1},F_{2}\} \) sa fie functional independente.

4. Sa se rezolve problema la limita
\( (y-x)p+(x-z)q-2z=0 \), avand conditiile initiale \( x=0, z=-\frac{y}{2} \).