Limita sirului \prod(1+1/k^2)

[Cezar Lupu]

Sa se calculeze

\( \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{1^{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right)\ldots\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right) \).

Ce am demonstrat pana acum (folosind mijloace elementare) este ca limita sirului este cuprinsa intre \( 1+\frac{\pi^2}{6} \) si \( e^{\frac{\pi^2}{6}} \).

[aleph]

Limita este \( \sinh(\pi)/ \pi \). Rezulta din scrierea ca produs infinit pentru \( \sin \) sau \( \sinh \).

[Cezar Lupu]

Mai precis are loc formula:

\( \frac{\sinh\pi x}{\pi x}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{x^2}{n^2}\right) \) pentru \( x\in (0, 1] \). Limita de mai sus este \( \sinh(\pi)/ \pi \) si se obtine pentru \( x=1 \) asa cum a afirmat si aleph mai sus.