Integrala diferita de o valoare data

[Cezar Lupu]

Fie \( f:[a,b]\to\mathbb{R} \) o functie de doua ori derivabila cu derivata a doua nenula in fiecare punct. Sa se arate ca

\( \frac{2}{b-a}\int_a^b f(x)dx\neq\frac{f(a)+f(b)}{2}+f\left(\frac{a+b}{2}\right) \).

Edit: dupa ce am vazut postul de mai jos.

[Liviu Paunescu]

Cred ca vrei sa spui a doua derivata nenula in fiecare punct, caz in care avem de a face cu o problema foarte frumoasa la nivelul clasei a XII-a .

[Cezar Lupu]

Da, evident. Punctual ma refeream. Hmmm si n-as fii asa de convins ca are o solutie la nivel de a 12-a. Poate ar fi fost mai potrivit daca as fi postat-o la Analiza Numerica, dar cum acolo nu prea bate vantul, am zis hai s-o pun aici. Solutia mea foloseste formula trapezelor facand "spargerea" \( \int_a^bf=\int_a^{\frac{a+b}{2}}+\int_{\frac{a+b}{2}}^b \).

P.S. Chiar sunt curios de o solutie elementara.

[Liviu Paunescu]

Notam cu \( c=\frac{a+b}{2} \).

Fie \( g:[a,b]\to\mathbb{R} \) astfel incat \( g(a)=f(a) \), \( g(c)=f(c) \), \( g(b)=f(b) \), iar pe segmentele \( (a,c) \) si \( (c,b) \) functia merge in linie dreapta. Avem deci \( g\prime\prime(x)=0 \) unde \( x\notin\{a,b,c\} \).

Graficul lui \( g \) este format din doua trapeze si se vede usor ca \( \int_a^bg(x)dx=\frac{f(a)+2f(c)+f(b)}{4}(b-a) \). Tot ce trebuie sa mai vedem este ca \( \int_a^bf\neq\int_a^bg \).

Acum \( f\prime\prime(x)>0 \) sau \( f\prime\prime(x)<0 \). Oricum ar fi functia \( g-f \) este strict convexa sau strict concava pe intervalele \( (a,c) \) si \( (c,b) \). Cum \( (g-f)(a)=0 \), \( (g-f)(c)=0 \) si \( (g-f)(b)=0 \) integrala este strict negativa sau strict pozitiva pe ambele intervale. Deci \( \int_a^b(g-f) \) nu poate fi \( 0 \).

[Cezar Lupu]

Notam cu \( c=\frac{a+b}{2} \).

Fie \( g:[a,b]\to\mathbb{R} \) astfel incat \( g(a)=f(a) \), \( g(c)=f(c) \), \( g(b)=f(b) \), iar pe segmentele \( (a,c) \) si \( (c,b) \) functia merge in linie dreapta. Avem deci \( g\prime\prime(x)=0 \) unde \( x\notin\{a,b,c\} \).

Graficul lui \( g \) este format din doua trapeze si se vede usor ca \( \int_a^bg(x)dx=\frac{f(a)+2f(c)+f(b)}{4}(b-a) \). Tot ce trebuie sa mai vedem este ca \( \int_a^bf\neq\int_a^bg \).

Acum \( f\prime\prime(x)>0 \) sau \( f\prime\prime(x)<0 \). Oricum ar fi functia \( g-f \) este strict convexa sau strict concava pe intervalele \( (a,c) \) si \( (c,b) \). Cum \( (g-f)(a)=0 \), \( (g-f)(c)=0 \) si \( (g-f)(b)=0 \) integrala este strict negativa sau strict pozitiva pe ambele intervale. Deci \( \int_a^b(g-f) \) nu poate fi \( 0 \).

Interesanta solutie si foarte intuitiva. Solutia mea este destul de asemanatoare, insa spre deosebire de cea data de Liviu, ea "pune mana efectiv pe problema", adica arata care este "samburele" ei.

Solutie.

Lema trapezelor.

Daca \( f\in C^{2}[a,b] \) atunci exista \( c\in (a, b) \) astfel incat

\( \int_a^bf(x)dx=(b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}-\frac{(b-a)^{3}}{12}f^{(2)}(c) \).

Aplicand lema pe intervalele \( \left[ a, \frac{a+b}{2} \right] \) si \( \left[ \frac{a+b}{2}, b\right] \), avem:

\( \int_a^{\frac{a+b}{2}}f(x)dx=\frac{(b-a)}{4}\left(f(a)+f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right)-\frac{(b-a)^{3}}{96}f^{(2)}(\lambda) \) cu \( \lambda\in\left(a, \frac{a+b}{2}\right) \) si
\( \int_{\frac{a+b}{2}}^{b}f(x)dx=\frac{(b-a)}{4}\left(f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right)-\frac{(b-a)^{3}}{96}f^{(2)}(\psi) \) cu \( \psi\in\left(\frac{a+b}{2}, b\right) \).
Acum, adunand cele doua formule obtinute si tinand cont ca \( f^{(2)} \) are proprietatea lui Darboux vom obtine \( c\in (a,b) \) cu proprietatea din enunt. \( \qed \)