Functie bijectiva care nu poate fi rationala

[bae]

Fie \( a,b\in\mathbb{R} \), \( a<b \) si o functie bijectiva \( f:\mathbb{R}\to(a,b) \). Sa se arate ca \( f \) nu este functie rationala.

GM 1/1999

[Radu Titiu]

Presupun ca f e functie rationala, deci exista doua polinoame P,Q cu coeficienti reali a.i. \( f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \) pentru orice x real. Deoarece f e definita pe multimea numerelor reale rezulta ca polinomul Q nu poate avea valoarea 0 oricare ar fi x real, deci deg(Q) e un numar par.

Daca deg(P)>deg(Q) atunci \( \lim_{x\to\infty}f(x)=\pm \infty \), contradictie cu marginirea lui f.

Deoarece f injectiva si continua rezulta f strict monotona, de aici rezulta ca \( a,b \in \{ \lim_{x\to\infty} f(x),\lim_{x\to-\infty}f(x)\}. \)

Daca deg(P) \( \leq \) deg(Q) atunci \( \lim_{x\to \infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}f(x), \) adica tocmai \( a=b \), contradictie.