GM 1/1997
Moderators: Filip Chindea, Andrei Velicu, Radu Titiu
-
Razvan Balan
- Euclid
- Posts: 16
- Joined: Tue Feb 19, 2008 10:10 pm
GM 1/1997
Fie triunghiul ABC si un sistem de coordonate cu originea in centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Daca \( $z_A,z_B,z_C$ \) sunt afixele triunghiului ABC sa se arate ca \( |z_A+z_B|+|z_B+z_C| + |z_C+z_A| \leq 3R \) unde R este raza cercului circumscris triunghiului ABC.
-
Bogdan Posa
- Pitagora
- Posts: 77
- Joined: Fri Dec 14, 2007 3:47 pm
- Location: Motru , Gorj , Romania
- Contact:
\( |z_A+z_B|=2OM \)
\( |z_C+z_B|=2ON \)
\( |z_C+z_A|=2OP \)
unde M,N,P sunt mijloacele laturilor AB , BC, AC.
\( OM=R cos(C) \)
\( ON=R cos(A) \)
\( OP=R cos(B) \)
deci inegalitatea de demonstat devine
\( cos(A)+ cos(B)+ cos(C) \le \frac{3}{2} \) care se stie.
\( |z_C+z_B|=2ON \)
\( |z_C+z_A|=2OP \)
unde M,N,P sunt mijloacele laturilor AB , BC, AC.
\( OM=R cos(C) \)
\( ON=R cos(A) \)
\( OP=R cos(B) \)
deci inegalitatea de demonstat devine
\( cos(A)+ cos(B)+ cos(C) \le \frac{3}{2} \) care se stie.
Last edited by Bogdan Posa on Thu Feb 28, 2008 9:45 pm, edited 1 time in total.
O mica observatie ... rezultatul l-ai dat bine insa :posabogdan wrote:\( |z_A+z_B|=\frac{OM}{2} \)
\( |z_C+z_B|=\frac{ON}{2} \)
\( |z_C+z_A|=\frac{OP}{2} \)
unde M,N,P sunt mijloacele laturilor AB , BC, AC.
\( |z_B + z_C| = 2 \cdot OM \) unde M - este mijlocul segmentului BC .
Adica \( |z_B+z_C|^2 = 4R^2 \cdot \cos^2{A} \) nu poti pierde cazul cu minus , deoarece unghiu A poate fi si obtuz .