Fie \( (a_n)_{n \ge 1} \) un sir de numere reale astfel încât pentru orice \( n \in \mathbb{N}^{\ast} \), \( |a_{n+1} - a_n| \le 1 \) si \( (b_n)_{n \ge 1} \) definit de \( b_n = \frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} \). Aratati ca pentru orice întreg pozitiv \( n \) are loc \( |b_{n + 1} - b_n| \le \frac{1}{2} \).
Dan Marinescu, Viorel Cornea, Olimpiada Judeteana 2008
Inegalitate cu valoare absoluta
Moderators: Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Filip Chindea
-
Filip Chindea
- Newton
- Posts: 324
- Joined: Thu Sep 27, 2007 9:01 pm
- Location: Bucharest
Inegalitate cu valoare absoluta
Life is complex: it has real and imaginary components.
Folosind ipoteza si inegalitatea modulului , observam ca :
\( |a_n - a_m| \leq |n-m| , \forall n, m \in \mathbb{N}^* \) .
Apoi il scriem pe \( |b_{n + 1} - b_n| \) ca si :
\( |b_{n + 1} - b_n| = \frac{|na_{n+1} - a_1 - a_2 - \dots - a_n | }{n(n+1)} \) .
Adica \( |b_{n + 1} - b_n| = \frac{|(a_{n+1}-a_1) + (a_{n+1}-a_2) + \dots + (a_{n+1}-a_n)| }{n(n+1)} \leq \frac{1 + 2 + \dots + n }{n(n+1)}= \frac{1}{2} \)
\( |a_n - a_m| \leq |n-m| , \forall n, m \in \mathbb{N}^* \) .
Apoi il scriem pe \( |b_{n + 1} - b_n| \) ca si :
\( |b_{n + 1} - b_n| = \frac{|na_{n+1} - a_1 - a_2 - \dots - a_n | }{n(n+1)} \) .
Adica \( |b_{n + 1} - b_n| = \frac{|(a_{n+1}-a_1) + (a_{n+1}-a_2) + \dots + (a_{n+1}-a_n)| }{n(n+1)} \leq \frac{1 + 2 + \dots + n }{n(n+1)}= \frac{1}{2} \)