Ecuatie cu logaritmi in Z

[Andrei Velicu]

Sa se determine numerele intregi \( x \) pentru care \( \log_3(1+2^x)=\log_2(1+x) \).

Lucian Dragomir, Olimpiada Judeteana 2008

[Tudor Micu]

Observam ca x=1 si x=3 sunt solutii.
Conditia de existenta a logaritmului din membrul drept exclude valorile negative pentru x. Observam ca x=0 nu este solutie.
Avem \( 2^{\log_{3}(1+2^x)}=1+x \) deci \( (1+2^x)^{\log_{3}2}=1+x \)
Fie \( f(x)=(1+2^x)^{\log_{3}2} \)
\( f^{\prime}(x) \)=\( ((1+2^x)^{\log_{3}2})^{\prime} \)=\( \log_{3}2\cdot (1+2^x)^{\log_{3}2-1}\cdot 2^{x}\cdot \ln2 \)
\( f^{\prime\prime}(x)=\log_{3}2\cdot \ln2[((1+2^x)^{\log_{3}2-1})^{\prime}\cdot 2^x+(2^x)^{\prime}\cdot (1+2^x)^{\log_{3}2-1}] \)
Deci avem \( f^{\prime\prime}(x)=\log_{3}2\cdot \ln2 [(\log_{3}2-1)(1+2^x)^{\log_{3}2-2}\cdot 2^x+2^x\cdot \ln2\cdot (1+2^x)^{\log_{3}2-1}] \). Astfel \( f^{\prime\prime}(x)=\log_{3}2\cdot \ln2\cdot (1+2^x)^{\log_{3}2-2}\cdot 2^x[(1+2^x)\ln2+\log_{3}2-1] \)
dar \( 2^{x}\ln2+\ln2-1>2\ln2-1=\ln4-1>0 \) evident
Rezulta astfel ca \( f^{\prime\prime}(x)>0 \). Rezulta ca f este o functie convexa.
1+x este o functie liniara, deci 1+x=f(x) are cel mult doua solutii. Acestea sunt 1 si 3.

[turcas]

In mare asta a fost si solutia mea . Desi am rezolvat-o mi se pare destul de incorecta alegerea ei la olimpiada, deoarece pentru un elev care stie derivate problema devine banala.

[maky]

\( f^{\prime} \)

Code: Select all

f^{\prime}

si eu am avut probleme cu apostroful propriu-zis mai demult, noroc cu Alin - http://mateforum.ro/viewtopic.php?t=552
(cred ca asta ar fi mai bine mutat la topicul de latex)

[Virgil Nicula]

Folosind derivatele, ati omorat o musca cu ... bomba atomica.

S-ar putea sa va suparati pe mine, insa eu nu nu inteleg de ce se accepta la olimpiada (locala sau judeteana) -
clasa a X - a, asemenea solutii sau de ce nu se mentioneaza in mod expres "fara utilizarea derivatelor".

Culmea este ca eu am dat pe acest site un exemplu de problema data in finala
la clasa a X - a in care solutia oficiala (din barem) folosea proprietatea Darboux si derivate.

Chiar credeti ca stiti "bine" derivatele sau ati invatat pe de rost un pachet de formule ... ?
Inseamna ca stiti bine si limite de functii, etc. De exemplu, ce puteti spune de acest obiect matematic,
\( \lim_{x\to\infty}\arcsin\frac {x+1}{x} \) ? Are sens si daca are sens exista si daca exista, cat face ?!

Se realizeaza astfel o discriminare intre participanti.
Poate cel mult in finala sau in baraje as accepta asa ceva, desi nici aici n-ar fi cazul ...
Si toate acestea se intampla deoarece programa este aerisita rau de tot ca sa nu zic ca este "o multime rara".

Poate gresesc, s-ar putea sa aveti si voi dreptate in asemenea conditii, cu o asemenea programa scolara
din care lipsesc cu desavarsire polinoamele si geometria in spatiu.

Va rog sa interpretati textul de sus ca o parere personala si nu doresc sa declansez o polemica.
In general nu-mi place sa utilizati instrumente pe care nu le stapaniti bine. Ati putea muri ... "electrocutati"
sau la primul cutremur sa se prabuseasca blocul pe care l-ati proiectat si construit.

In concluzie, solutia cu derivate o putea face si ... soacra-mea.

[Tudor Micu]

Am postat pe acest topic soluţia pe care am dat-o la subiectul 2 pentru că am văzut că nimeni nu o postase.
Din problemele de exponentiale si logaritmi pe care le-am rezolvat am constatat că foarte multe din ele se rezolvă mult mai simplu apelând la monotonie si convexitate, care se pot stabili mult mai uşor folosind derivatele.
Dimpotrivă, general vorbind, mi se pare că a folosi o demonstraţie alambicată, greoaie sau artificială în locul uneia simple, cu derivate, e tocmai ceea ce numiţi dumneavoastră "a omorî musca cu bomba atomică".

Ultima programă oficială a Olimpiadei de Matematică pentru clasa a X-a pe care o am la dispoziţie este cea de anul trecut, din care citez următoarele frânturi: "convexitate în sensul lui Jensen", "polinomul lui Taylor", "derivata formală a unui polinom" şi, în sfârşit, nota finală, în care se spune "Folosirea corectă de către elev, în redactarea soluţiei a unor teoreme fără demonstraţie din cadrul programei de olimpiadă, conduce la acordarea punctajului maxim prevăzut in baremele de corectare".

Referitor la măsura în care stăpânesc cunoştinţele de analiză matematică sunt convins că anul viitor pe vremea aceasta o să ştiu mai multe, dar asta nu înseamnă că la momentul de faţă nu am suficiente cunoştiinţe ca să înţeleg în profunzime demonstrarea convexităţii unei funcţii.

După ce am văzut cele scrise de dumneavoastră m-a apucat un sentiment de remuşcare că v-am supărat prin faptul că am învăţat derivatele înainte de a se preda la şcoală şi astfel am luat parte la "discriminarea" colegilor mei care nu au avut această curiozitate.

Referitor la a limita metodele de rezolvare a unei probleme (de exemplu cu indicaţia "fără a folosi derivatele") acest lucru cred ca este potrivit într-un manual sau o culegere în care autorul vrea să consolideze o anumită metodă, dar la un concurs mi se pare că este treaba comisiei să propună o problemă astfel încât abordarea pe care o doresc asupra problemei respective să nu poată fi ocolită şi să rezulte natural, rezolvitorul nefiind nevoit să apeleze la alte metode, care l-ar aduce la rezultat mai repede.

Spuneţi că nu figurează polinoamele şi geometria în spaţiu în programa de olimpiadă. Vă rog să-mi spuneţi unde aţi găsit programa de anul acesta de olimpiadă pentru că in cea de anul trecut figurează pentru etapa naţională, atât polinoamele cât şi geometria în spaţiu. A apărut o astfel de programă? Dacă într-adevăr respectivele capitole au fost scoase, este regretabil. Sigur că la clasă nu se mai studiază, dar din câte am observat programa de olimpiadă nu prea are legătură cu cea de la clasă.

În legătură cu scenariile sumbre pe care le-ar presupune învăţarea derivatelor înainte de vreme, sunt dispus sa îmi asum riscurile.

[Virgil Nicula]

Cred ca nu ai citit atent. Eu vorbeam de programa scolara si nu de programa de olimpiada. Asta-i una. A doua, eu aici am prezentat o parere pe care nu doresc sa o amplific. Raman "intepenit" in ea. Atat programa scolara cat si programa de olimpiada sunt divergente si creaza fisuri tectonice in invatamantul romanesc, acea prapastie intre 1% superdotati si ... resturile. Suna cam urat ultimul cuvant, dar asta-i adevarul gol, golut. Aici cred ca suntem de aceeasi parere. Si pentru a obtine rezultate bune la olimpiada pe o asemenea programa de olimpiada eu sunt convins ca nu se poate fara un "antrenament" in particular si in acest caz nu numai cu un singur profesor. In felul acesta caracterul "olimpic" al concursului se volatilizeaza. Ceea ce inseamna ca nu mai este "fair". Si in acest sens ajungem tot la "discriminare". Ma bucur de succesele voastre, insa simt un gust amar de fiecare data gandindu-ma la cei care nu au asemenea posibilitati. Daca ministerul invatamantului s-ar ocupa serios de aceasta problema, programa scolara plus concursurile scolare si compatibilitatea intre ele, atunci nu as avea nimic impotriva.
Si imi permit o ultima intrebare : ai simtit vreo placere deosebita rezolvand acea problema cu derivate, in afara bucuriei ca ai "kill -it-o si ai obtinut 7 puncte in mod facil ?! Dupa parerea mea, nu as fi propus o asemenea problema in ipoteza ca se permite folosirea derivatelor. Aici sunt de aceeasi parere cu Turcas. Acum cred ca m-ai inteles. Nu de alta, dar bag de seama ca te-ai "revoltat" un pic, desi eu nu am vrut sa-ti fac nici un repros si ma bucur ca sti sa folosesti derivatele. Tu nu ai nici o vina. Ai folosit tot ce iti este permis. EXIT.

ENTER. Btw, nu mi-ai raspuns la exemplul acela cu limita ... Acest mic exercitiu mi l-a dat acad. Miron Nicolescu la examenul de Analiza matematica din anul I inainte de a-mi prezenta solutiile subiectelor din biletul de examen. Iti tin pumnii pentru finala. Numai bine, Virgil Nicula.

[Filip Chindea]

In mare asta a fost si solutia mea . Desi am rezolvat-o mi se pare destul de incorecta alegerea ei la olimpiada , deoarece pentru un elev care stie derivate problema devine banala .

Cred ca pe parcursul întregii discutii nu s-a tinut cont de

Sa se determine numerele intregi \( x \) pentru care [...]

Evident ca aceasta ipoteza ne permite sa reducem problema la un numar finit de verificari (utilizând o estimare de genul \( 2^x + 1 > (x + 1)^2 \) pentru \( x \ge 6 \) etc.). Ceea ce mi se pare chiar foarte natural, cu atât mai mult în contextul de clasa a X-a. Clar, daca stim derivate putem sa rezolvam ecuatia pe \( \mathbb{R} \), ca mai sus!
Dl. Nicula, eu personal nu stiu sa va raspund riguros, dar este clar ca nu putem vorbi de \( \arcsin \frac{x+1}{x} \), cu \( x > 0 \)... (v. definitia functiei).
Cât despre restul, agreez în mare parte cu spusele anterioare user-ului Tudor Micu.
Iar legat de "tocitul de <pachete> de formule", nu stiu daca ati remarcat si alt fenomen:
In programa de clasa a IX-a (cea în vigoare, adica ultima, de anul trecut) apar cerinte ambigue de Teoria Numerelor (la ecuatia lui Pell se cere sa se stie doar solutiile, în acest caz cât de generale? Daca vrem sa fim rigurosi, intra aici si fractiile continue...), mergând pâna la unele care necesita cerinte superioare sau care au demonstratii elementare migaloase (Teorema lui Cebâsev, Kronecker, Inegalitatea Holder, Bernoulli - daca este pt. numere reale), chiar si Teorema lui Dirichlet, pentru care de fapt nu se cunoaste demonstratie elementara, de nicio complexitate!
Altceva sunt recurentele omografice (din nou este ambiguu, ce se cere la ele?)
Unui elev de la aceasta clasa, logic, îi este imposibil sa cunoasca în totalitate justificarile unor anumite rezultate. Si atunci picam pe descrierea dv.!

[bae]

***

[Tudor Micu]

Am avut satisfacţii la rezolvarea problemei cu derivate pentru că în momentul în care m-am hotărât pentru această abordare nu ştiam dacă funcţia este într-adevăr convexă sau cât de simplu va fi de demonstrat că derivata a doua este într-adevăr pozitivă.
Referitor la limită, sunt de acord cu userul philandrew şi anume că funcţia f(x) nu este definită pentru x pozitiv, arcsin(x) fiind definită doar între -1 şi 1, în concluzie problema nu are sens.
Mai clar, funcţia \( f(x)=\arcsin(\frac{x+1}{x}) \) are aceeaşi limită la infinit ca şi şirul \( a_{n}=\arcsin(\frac{n+1}{n}) \), ai cărui termeni sunt \( \arcsin(2), \arcsin(\frac{3}{2}), arcsin(\frac{4}{3}),\ldots, \arcsin(\frac{n+1}{n}) \), dar niciunul din aceşti termeni nu există, deci problema calculării limitei este o problemă greşit pusă. O problemă similară ar fi \( \displaystyle\lim_{x\to 0, x>0}\sqrt{-x} \)
Dacă problema are vreo chichiţă ce mi-a scăpat, va rog să mă lămuriţi.
Mulţumesc pentru urările de succes la finală.

[Virgil Nicula]

O.K. Poate ne mutam pe Chat de Voie unde putem discuta mai mult.

Relativ la exemplu, raspunsul meu (de fapt al academicianului) este ca obiectul matematic " \( \lim_{x\to\infty}\ \arcsin\frac {x+1}{x} \) " nu are sens deoarece \( \infty \) nu este punct de acumulare (ce-o fi acela ?!) pentru domeniul maxim de definitie \( D_f=\left(-\infty ,-\frac 12\right] \) al functiei \( f(x)=\arcsin\frac {x+1}{x} \) , adica \( -\infty\not\in D_f^{\prim}=\left[-\infty , -\frac 12\right] \) - derivata multimii \( D_f \).

Micu si Philandrew "au intuit" foarte bine raspunsul. Insa in matematica trebuie sa mergi dincolo de intuitie pentru a o aplica. Stiu cei de a X - a (de unde, eu nu stiu : ei imi vor raspunde ca au invatat singuri, ceea ce inseamna ca degeaba se mai duc la scoala, ceea ce este absurd intr-un sistem de invatamant normal !) sa opereze cu determinanti, insa multi nu stiu ce este acela un determinant. Stiu cei de a X -a ce este ecuatia caracteristica asociata unui sir recurent liniar insa multi nu stiu ce reprezinta ea. Si exemplele pot continua. Si acestia multi folosesc aceste notiuni subliniate mai sus cu o dezinvoltura care pe mine ma "sperie".

[Beniamin Bogosel]

Dimpotrivă, general vorbind, mi se pare că a folosi o demonstraţie alambicată, greoaie sau artificială în locul uneia simple, cu derivate, e tocmai ceea ce numiţi dumneavoastră "a omorî musca cu bomba atomică".

Pai sa vedem si o solutie fara "tehnici superioare".... , care nu e deloc "greoaie, alambicata sau artificiala". E pur si simplu natural pentru cei care au facut ceva ecuatii cu logaritmi, mai ales daca se cauta doar solutiile intregi.

Evident, din enuntul problemei avem \( x>0 \), si pentru \( x\in \{1,3\} \) avem solutie, iar pentru 2 nu. Verificam pina la \( x=6 \) si vedem ca nu avem solutii.

Fie acum \( x \geq 7 \). De aici incolo (mai exact de la 4) este adevarat ca \( 2^x\geq x^2 \) pentru orice \( x (\geq 7\geq 4) \) intreg (si nu numai, dar numai de asta avem nevoie ), afirmatie ce poate fi demonstrata usor prin inductie.

Acum presupunem ca ecuatia are o solutie \( x\geq 7 \). Notam
\( k=\log_3(1+2^x)=\log_2(1+x)\geq 3 \). Deci
\( 3^k=1+2^x\geq 1+x^2 =1+(2^k-1)^2=4^k-2\cdot 2^k+2>4^k-2\cdot 2^k \). Impartim cu \( 3^k \) si avem
\( 1>\left(\frac{4}{3}\right)^k-2\left(\frac{2}{3}\right)^k=g(k) \). Unde \( g \) este suma de functii crescatoare, deci crescatoare...
Prin urmare \( 1>g(k)\geq g(3)=\frac{48}{27}>1 \). Contradictie!

Deci solutiile sunt \( x=1, x=3 \). Simplu (si mai scurt), nu...