B.A.M.O. 2008 (Bay Area Mathematical Olympiad)

Virgil Nicula · Post by **Virgil Nicula** » Sat Mar 01, 2008 10:16 am

Consideram trei cercuri \( w_k\ ,\ k\in\overline {1,3} \) care au un singur punct comun \( D \), adica \( \{D\}=w_1\cap w_2\cap w_3 \).

Sa se arate ca \( \left\|\begin{array}{ccc}
\{D,A\}=w_2\cap w_3 & , & A_1\in (AD\cap w_1\\\
\{D,B\}=w_3\cap w_1 & , & B_1\in (BD\cap w_2\\\
\{D,C\}=w_1\cap w_2 & , & C_1\in (CD\cap w_3\end{array}\ \right\|\ \ \Longrightarrow\ \ \frac {AD}{AA_1}+\frac {BD}{BB_1}+\frac {CD}{CC_1}=1 \).

\( \underline {\mathrm {Observatie.}} \) Desi aceasta frumoasa problema are un caracter general, nu are un grad mare de dificultate.
Situatii particulare ale ei le-am intalnit ca probleme propuse in diferite reviste sau culegeri de probleme.

Filip Chindea · Post by **Filip Chindea** » Sat Mar 01, 2008 10:02 pm

Dl. Nicula ne spuneti, daca se poate, solutia sintetica "miraculoasa" (nu prea dificila)? Eu am regasit rezultatul utilizând calcule, dar evident este imposibil de postat ceva aici. Personal nu realizez nimic, poate ca o fi o duala, dar într-un sens necunoscut mie, a Teoremei lui Gergonne (vedeti enuntul ei).

PS. Pentru cei care nu au auzit de respectiva competitie (eu aflu acum, de exemplu

), aveti un link.

Virgil Nicula · Post by **Virgil Nicula** » Sat Mar 01, 2008 11:06 pm

Philandrew, vezi adevaratul enunt si o solutie frumoasa (a lui Yetti, pentru cei care il cunosc) aici. De ce ti se pare imposibil de postat aici? Peste cateva zile poti posta tot aici o alta solutie, mai concisa, mai frumoasa etc. Care-i problema, ca nu inteleg ce-ai vrut sa spui ?! Multumesc pentru linkul pt. BAMO in numele userilor. Eu il stiam. Ce-ai facut la O.M. judeteana?

Virgil Nicula · Post by **Virgil Nicula** » Sun Mar 02, 2008 12:22 am

Iata solutia lui Yetti (pentru cei care nu stiu engleza !) :

Notam \( \begin{array}{c}
\{B,C_2\}=A_1B\cap w_3\\\
\{C,B_2\}=A_1C\cap w_2\end{array} \) . Se arata usor ca \( A\in B_2C_2 \) si \( \begin{array}{c}
B_1B_2\parallel A_1C_2\\\
C_1C_2\parallel A_1B_2\end{array} \) .

Notam \( \begin{array}{c}
B_0\in DB_2\cap A_1C_2\\\
C_0\in DC_2\cap A_1B_2\end{array} \) . Deci \( \left\|\begin{array}{c}
B_1B_2\parallel A_1C_2\ \Longrightarrow\ \frac {BD}{BB_1}=\frac {B_0D} {B_0B_2}\\\
C_1C_2\parallel A_1B_2\ \Longrightarrow\ \frac {CD}{CC_1}=\frac {C_0D}{C_0C_2}\end{array}\right\| \) \( \Longrightarrow \)

\( \sum \frac {AD}{AA_1}=\frac {AD}{AA_1}+\frac {B_0D}{B_0B_2}+\frac {C_0D}{C_0C_2}=1 \) deoarece \( D\in AA_1\cap B_0B_2\cap C_0C_2 \) in \( \triangle A_1B_2C_2 \) . Asta-i tot.

Filip Chindea · Post by **Filip Chindea** » Sun Mar 02, 2008 1:27 pm

Virgil Nicula wrote:Philandrew, vezi adevaratul enunt si o solutie frumoasa (a lui Yetti, pentru cei care il cunosc) aici. De ce ti se pare imposibil de postat aici? Peste cateva zile poti posta tot aici o alta solutie, mai concisa, mai frumoasa etc. Care-i problema, ca nu inteleg ce-ai vrut sa spui ?! Multumesc pentru linkul pt. BAMO in numele userilor. Eu il stiam. Ce-ai facut la O.M. judeteana?

Intr-adevar, ma asteptam la ceva de genul (am si anticipat utilizarea T. lui Gergonne, si posibiltatea de a utiliza inversiune). Ceea ce voiam sa zic este ca o solutie utilizând geometrie analitica (numere complexe, în alte cazuri) se poate deduce de catre fiecare dintre noi, daca nu necesita idei suplimentare: singura informatie pe care merita sa o spun este ca functioneaza la problema de fata.