Divizibilitate in Z

[Claudiu Mindrila]

Determinati x intreg pentru care \( \frac{10 x^2+59x+63}{14 x^2+53x-45} \) este numar intreg.

[Claudiu Mindrila]

Sfat...incercati sa descompuneti numaratorul si numitorul ca produs de factori....apoi problema devine ceva foarte simplu

[Claudiu Mindrila]

Determinati x intreg pentru care \( \frac{10 x^2+59x+63}{14 x^2+53x-45} \) este numar intreg.

M-am referit in "sfat" la descompunerea numitorului si a numaratorului:\( 14x^2+53x-45= (2x+9)(7x-5) \) si \( 10x^2+59x+63=(2x+9)(5x+7) \), iar \( \frac{10 x^2+59x+63}{14 x^2+53x-45} \) devine \( \frac{(2x+9)(7x-5)}{(2x+9)(5x+7) \)=\( \frac{7x-5}{5x+7} \) iar de aici problema devine ceva banal

[Claudiu Mindrila]

Eu nu am facut nici o remarca la "sfatul" tau. Mi-a placut ca ai speculat particularitatea problemei. Aceasta actiune este un pas obligatoriu in orice "atac". Insa eu te-am intrebat ce te faci daca aceasta particularitate nu exista ?! Cu alte cuvinte, sa sugeram ce facem intr-un caz mai general ... Si ti-am oferit un exemplu compatibil. Succes !

Dar daca nu se pot descompune cel putin numitorul ?!

De exemplu, \( \frac {3x^2+3x+4}{2x^2+x+2} \) (are cel putin solutia \( x=1 \)).

SOLUTIE: Sa notam \( d=2x^2+x+2 \). Avem:

\( d|2x^2+x+2 \) si \( d|3x^2+3x+4 \) de unde \( d|6x^2+3x+6 \) si \( d|6x^2+6x+8 \) iar prin diferenta obtinem \( d|3x+2 \) si de aici avem si \( d|3x^2+2x \). Cum \( d|3x^2+3x+4 \) prin diferenta avem si \( d|x+4 \) de unde \( d|3x+12 \). Dar am aratat si ca \( d|3x+2 \) de unde avem in final ca \( d|10 \), adica \( 2x^2+x+2|10 \) si raman de analizat cazurile...