O problema de medie

[bogdanl_yex]

Fie \( f:[0,1]\to R \) continua cu \( f(0)=f(1) \). Aratati ca exista \( c \in (0,1) \) astfel incat
\( \int_0^c f(t)dt=cf(c) \).

Cezar si Tudorel Lupu, Lista scurta ONM 2005

[bogdanl_yex]

Din teorema lui Weierstrass avem ca f e marginita si isi atinge marginile. Fie \( a,b \in (0,1) \) astfel incat \( f(a)=\min f(x) \), \( f(b)=\max f(x) \). Fie \( g(a)= \int_{0}^{a}f(t)dt=af(c_{1}) \) (din teorema de medie).
\( \frac{g(a)}{a}=f(c_{1}) \Rightarrow \frac{g(a)}{a}-f(a)=f(c_{1})-f(a) \geq 0 \)
Analog
\( g(b)= \int_{0}^{b}f(t)dt=bf(c_{2}) \Rightarrow \frac{g(b)}{b}-f(b)=f(c_{2})-f(b) \leq 0 \)
Construim functia \( h(x)= \frac{g(x)}{x}-f(x) \), h continua cu \( h(a) \geq 0 \) si \( h(b) \leq 0 \). Deci \( h(a)h(b) \leq 0 \Rightarrow \exists c \in (a,b) \) astfel incat \( h(c)=0 \) de unde rezulta concluzia.
Daca unul dintre extreme este in 0, din ipoteza avem ca \( f(0)=f(1) \), deci aplicand metoda de mai sus gasim puncte in intervalele \( (a,1) \) respectiv \( (b,1) \) cu proprietatea ceruta. Astfel se incheie demonstratia.

[bogdanl_yex]

Si apropo de "asemanari" intre probleme ...Nu vi se pare ca aceasta cam seamana cu problema 3 de la ONM din 1973?

[Cezar Lupu]

De fapt e aceeasi problema. Na...., asta e... mai cade omul peste probleme care s-au mai dat... Problema de care zici tu a fost propusa de Dan Radu la ONM 1973, insa nu este altceva decat transpunerea teoremei de medie a lui Flett (vezi postul regretatului profesor Alexandru Lupas a.k.a. flip2004) pentru primitiva.
Solutia mea la problema pe care am propus-o este oarecum asemnatoare cu a ta.

[bogdanl_yex]

Multzumesc pentru teorema. Poate ajuta! nu se stie niciodata...