Ecuatie functionala cu functii continue pt. anumite valori

[Radu Titiu]

Sa se determine pentru ce valori ale lui \( a\in[0,\infty) \) exista functii continue \( f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \) a.i. :

\( f(f(x))=(x-a)^2 \)

Dorel Mihet, Olimpiada Judeteana 2008

[blanche2negru]

Heh, rezolvarea mea (care credeam ca e buna, dar totusi nu e (!)).

Cum \( f \) este continua, presupunem ca exista un interval \( I\subset \mathbb{R} \) astfel incat, \( \forall x \in I \), \( f(x)=c \), \( c \in \mathbb{R} \)
Atunci, \( f(f(x)) = f(c) \), care este o constanta.
In acelasi timp, \( f(f(x)) = (x-a)^2 \), \( \forall x \in I \).
Din cele doua relatii rezulta ca \( (x-a)^2 \) este constanta pe un interval, fals (pentru ca \( a \) este un numar constant). Deci \( f \) nu poate fi constanta pe niciun interval.

Tot pentru ca \( f \) este continua, am considerat intervalul \( J\subset (0,\infty)\subset\mathbb{R} \), astfel incat \( f \) sa fie strict monotona pe acesta. Atunci \( f(f(x)) \) este functie strict crescatoare, deci si \( (x-a)^2 \) este strict crescatoare pe \( J \), ceea ce este adevarat pentru ca \( J\subset(0,\infty) \)
Fie \( K\subset(-\infty,0)\subset\mathbb{R} \), pentru care \( f \) strict monotona pe acesta. Din nou, \( f(f(x)) \) este strict crescatoare \( \Rightarrow (x-a)^2 \) strict crescatoare pe un interval din \( (-\infty,0) \). Contradictie, pentru ca \( a \in [0,\infty) \), iar pe acest interval, \( (x-a)^2 \) este strict descrescatoare - deci am gasit un interval pentru care oricare ar fi \( a \) din \( [0,\infty) \) nu se respecta ipoteza..

Asadar, eu n-am reusit sa gasesc un astfel de \( a \), pornind de la ideea ca daca f este functie continua, ea are o infinitate de intervale din \( \mathbb{R} \) pe care e monotona (care nu sunt sigura daca e adevarata, dar asa imi pare mie).

[bae]

...pornind de la ideea ca daca f este functie continua, ea are o infinitate de intervale din \( \mathbb{R} \) pe care e monotona (care nu sunt sigura daca e adevarata, dar asa imi pare mie).

Nu vad nici un motiv pentru care sa se intample ceea ce spui si cred ca putem gasi exemple de functii continue pe \( \mathbb{R} \) si care nu sunt monotone pe nici un interval.

[blanche2negru]

Oricum, am fost grabita cu \( f(f(x)) \) strict crescatoare, pentru ca am uitat sa verific daca \( f(x) \) se afla in intervalul din care l-am ales si pe \( x \).