Puncte pe sfera unite prin curbe

[Liviu Ornea]

Iată două probleme înrudite (nu sînt convins că aici e locul potrivit să le postez; dacă moderatorii le văd mai bine altundeva, le pot muta). Cred că le-am văzut în cartea lui Presley, dar nu bag mîna-n foc. Oricum, nu cred că cineva ar revendica paternitatea.

1. Nu există \( 5 \) puncte pe sferă care pot fi unite prin curbe care se taie doar în acele puncte.

2. Fie punctele \( P_i \), \( Q_i \), \( i=1,2,3 \), pe sferă. Să se arate că nu se pot uni fiecare \( P_i \) cu fiecare \( Q_j \) prin curbe care să nu se taie decît în punctele date.

L.O.

[mihai++]

Prima problema se reduce la cunoscuta problema in plan: segmentele ce unesc oricare 5 puncte necoliniare din plan se interseacteaza in cel putin un loc diferit de un punct.
Dar cred ca este incompleta prima problema caci daca toate punctele se afla pe acelasi arc de sfera atunci toate sunt unite prin acelasi arc care se interseacteaza doar in punctele date (sau poate presupui ca daca arcurile sunt unul peste celalalt atunci se intersecteaza ).

[Filip Chindea]

sau poate presupui ca daca arcurile coincid atunci se intersecteaza

De fapt, exact asa este!

Prima problema se reduce la cunoscuta problema in plan: segmentele ce unesc oricare 5 puncte necoliniare din plan se interseacteaza in cel putin un loc diferit de un punct.

Adevarat, dar într-un concurs nimeni nu te crede pe cuvânt, deci ar mai trebui sa mentionezi si ca problemele sunt echivalente multumita existentei proiectiei stereografice (vezi sfârsitul post-ului de aici). Oricum, era usor de observat.
Cât despre ceea ce se întâmpla în plan, cele doua afirmatii mai sus mentionate poarta numele de teorema lui Kuratowski, care afirma ca grafurile complet \( K_5 \) si complet bipartit \( K_{3,3} \) nu sunt planare.
In concluzie, recomand mutarea topicului la una din sectiunile Combinatorica sau, mai bine, Topologie.
Aceasta problema este legata de numeroase rezultate netriviale - consultati orice text de teoria grafurilor clasica.
Iar legat de o posibila demonstratie, se poate utiliza formula lui Euler pentru harti. O astfel de solutie se gaseste, de exemplu, în cartea Dlor. Panaitopol & Serbanescu de la Editura GIL.

[Liviu Ornea]

La triangulări, caracteristică Euler-Poincare etc. nu se gîndeşte nimeni? Cu argumente de tipul ăsta, rezultatele sînt adevărate pe orice suprafaţă homeomorfă cu sfera.
Sigur că soluţia cu proiecţia stereografică e corectă, dar problema nu e conformă, ci strict topologică.
L.O.

[Filip Chindea]

Sigur că soluţia cu proiecţia stereografică e corectă, dar problema nu e conformă, ci strict topologică.

Nu înteleg exact ce spuneti, dar ideea este ca aceasta fiind o transf. proiectiva, conserva intersectiile, ceea ce de fapt ne interesa.
Obs. ca muchiile unui graf planar nu sunt în mod necesar segmente de linie dreapta, ci doar arce poligonale.

La triangulări, caracteristică Euler-Poincare etc. nu se gîndeşte nimeni? Cu argumente de tipul ăsta, rezultatele sînt adevărate pe orice suprafaţă homeomorfă cu sfera.

Probabil pentru ca aici este forumul de Geometrie de nivel IMO - pentru astfel de întrebari exista sectiunile mentionate mai sus.

[Liviu Ornea]

Scuze, întotdeauna e greu cu clasificările (inclusiv ale problemelor)...
L.O.

[Cezar Lupu]

Ia stati putin, ca pe mine ma intriga mult chestia asta....imi plac la nebunie problemele care au un enunt elementar, dar tehnicile pentru rezolvarea lor au radacini adanci. Tocmai de aceea sunt curios cum se poate rezolva aceasta problema folosind caracteristica Euler-Poincare.

P.S. Filip, sa stii ca un matematician adevarat nu impune bariere (vezi ca e de nivel IMO, etc). Tocmai asta e frumos; sa vezi ca o problema iese si cu chestii dure. Cred si sper ca nu este nevoie sa dau exemple de astfel de probleme.

[Filip Chindea]

P.S. Filip, sa stii ca un matematician adevarat nu impune bariere (vezi ca e de nivel IMO, etc) [...]

Doamne Fereste! Eu chiar încurajez acest lucru, dar nu ai fost atent la postul meu - am dat raspuns la întrebarea "(De ce) nu se gândeste nimeni la ... ?" (referitor la ideile elevate de mai sus). Evident ca elevii nu pot da astfel de raspunsuri.
De asemenea, poate ca totusi nu ar fi locul ei aici, cel putin pâna când este indicata o solutie care sa nu "iasa din elementar". Ar merge, cel mult, pe forumul de Combinatorica.