Fie doua puncte fixe \( B \) , \( C \) si un punct mobil M pentru care m\( (\widehat {BMC})=\phi \) (constant) , \( \phi\ <\ 90^{\circ} \) .
Consideram punctul \( N \) pentru care \( \left\|\ \ \begin{array}{c}
\widehat {NBC}\equiv\widehat {NMB}\\\\
\widehat {NCB}\equiv\widehat {NMC}\end{array} \) (dovediti ca exista \( N \) si este unic !).
Sa se determine pozitia punctului \( M \) pentru care aria triunghiului \( BNC \) este maxima.
Inca o problema simpla de extrem geometric.
Moderators: Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Filip Chindea
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
-
Beniamin Bogosel
- Co-admin
- Posts: 710
- Joined: Fri Mar 07, 2008 12:01 am
- Location: Timisoara sau Sofronea (Arad)
- Contact:
Punctul \( N \) este obtinut la intersectia cercurilor care trec prin \( M \) si sunt tangente la \( BC \) in \( B,C \) respectiv.
Daca consideram punctele \( D,E \) ca fiind intersectiile perpendicularei in \( B \) pe \( BC \) cu mediatoarea segmentului \( MB \), respectiv a perpendicularei in \( C \) pe \( BC \) cu mediatoarea segmentului \( MC \), atunci \( m(\widehat{DME})=m(\widehat{DMB})+m(\widehat{BMC})+m(\widehat{CME})=90^o-m(\hat{B})+90^o-m(\hat{C})+\phi=2\phi<180^o \)
Aceasta relatie este valabila si daca \( m(\hat{B})>90^o \) sau \( m(\hat{C})>90^o \), pentru ca unul dintre unghiurile din suma este \( m(\hat{X})-90^o \), dar din cauza schimbarii intervenite in figura unghiul cautat este acum diferenta unor unghiuri, care dau exact acelasi rezultat. Pe o figura se intelege mai bine ceea ce vreau sa zic.
Prin urmare punctul \( N \) exista si e unic, fiind al doilea punct de intersectie al cercurilor de mai sus, adica simetricul lui \( M \) fata de \( DE \), care este diferit de \( M \) din cele demonstrate mai sus. Mai mult, punctul \( N \) este in interiorul triunghiului \( ABC \) pentru ca \( BC \) este tangenta comuna la cercurile considerate.
Din ipoteza, \( m(\widehat{BNC})=180^o-\phi \) deci constant. Prin urmare \( N \) parcurge un arc de cerc capabil de unghi \( 180^o-\phi \) cu extremitatile in \( B,C \) si situat in semiplanul determinat de \( BC \) si \( M \). Atunci aria triunghiului \( BNC \) este maxima in punctul in care distanta da la \( N \) la \( BC \) este maxima, adica in mijlocul arcului, adica triunghiul \( BNC \) este isoscel. Atunci rezulta usor ca si triunghiul \( MBC \) este isoscel.
Deci pozitia lui \( M \) pentru care aria triunchiului \( NBC \) este maxima este pozitia in care triubghiul \( MBC \) este isoscel. q.e.d.
Daca consideram punctele \( D,E \) ca fiind intersectiile perpendicularei in \( B \) pe \( BC \) cu mediatoarea segmentului \( MB \), respectiv a perpendicularei in \( C \) pe \( BC \) cu mediatoarea segmentului \( MC \), atunci \( m(\widehat{DME})=m(\widehat{DMB})+m(\widehat{BMC})+m(\widehat{CME})=90^o-m(\hat{B})+90^o-m(\hat{C})+\phi=2\phi<180^o \)
Aceasta relatie este valabila si daca \( m(\hat{B})>90^o \) sau \( m(\hat{C})>90^o \), pentru ca unul dintre unghiurile din suma este \( m(\hat{X})-90^o \), dar din cauza schimbarii intervenite in figura unghiul cautat este acum diferenta unor unghiuri, care dau exact acelasi rezultat. Pe o figura se intelege mai bine ceea ce vreau sa zic.
Prin urmare punctul \( N \) exista si e unic, fiind al doilea punct de intersectie al cercurilor de mai sus, adica simetricul lui \( M \) fata de \( DE \), care este diferit de \( M \) din cele demonstrate mai sus. Mai mult, punctul \( N \) este in interiorul triunghiului \( ABC \) pentru ca \( BC \) este tangenta comuna la cercurile considerate.
Din ipoteza, \( m(\widehat{BNC})=180^o-\phi \) deci constant. Prin urmare \( N \) parcurge un arc de cerc capabil de unghi \( 180^o-\phi \) cu extremitatile in \( B,C \) si situat in semiplanul determinat de \( BC \) si \( M \). Atunci aria triunghiului \( BNC \) este maxima in punctul in care distanta da la \( N \) la \( BC \) este maxima, adica in mijlocul arcului, adica triunghiul \( BNC \) este isoscel. Atunci rezulta usor ca si triunghiul \( MBC \) este isoscel.
Deci pozitia lui \( M \) pentru care aria triunchiului \( NBC \) este maxima este pozitia in care triubghiul \( MBC \) este isoscel. q.e.d.