Fie \( f:[0,1]\to\mathbb{R} \) definita astfel: scriem \( x=0,a_1a_2... \) si consideram \( f(x)=0,a_2a_4...a_{2n}... \) daca \( x\in\mathbb{Q} \), respectiv \( f(x)=0,a_1a_3...a_{2n+1}... \) daca \( x\notin\mathbb{Q} \). Sa se arate ca \( f \) nu este integrabila.
Lista scurta, ONM 2003
Functie neintegrabila
Moderators: Bogdan Posa, Beniamin Bogosel, Marius Dragoi
Fie \( A \) mulţimea numerelor de forma \( 0,1234a_5a_6... \).
Aceasta are măsură pozitivă (de fapt \( A=\[0,1234;\ 0,1235\] \), deci măsura sa este \( 1/10000 \)).
Pentru orice număr \( x=0,1234a_{5}a_{6}...\in A\setminus\mathbb{Q} \),\( f \) este discontinuă în \( x \) căci pentru \( x_{n}=0,1234a_{5}a_{6}...a_{n}000...\in\mathbb{Q} \) avem
\( \| x-x_{n}\| \leq10^{-n} \) şi \( \|f(x)-f(x_{n})\| \geq1/10 \).
Deci \( f \) nu e integrabilă Riemann.
(Se poate însă arăta că este integrabilă Lebesgue).
Aceasta are măsură pozitivă (de fapt \( A=\[0,1234;\ 0,1235\] \), deci măsura sa este \( 1/10000 \)).
Pentru orice număr \( x=0,1234a_{5}a_{6}...\in A\setminus\mathbb{Q} \),\( f \) este discontinuă în \( x \) căci pentru \( x_{n}=0,1234a_{5}a_{6}...a_{n}000...\in\mathbb{Q} \) avem
\( \| x-x_{n}\| \leq10^{-n} \) şi \( \|f(x)-f(x_{n})\| \geq1/10 \).
Deci \( f \) nu e integrabilă Riemann.
(Se poate însă arăta că este integrabilă Lebesgue).