Pentru doua matrice X, Y avem rank(XY)-rank(YX)<=[n/2]

[Cezar Lupu]

Sa se arate ca pentru orice doua matrice \( X, Y\in M_{n}(\mathbb{C}) \) are loc inegalitatea:

\( rang(XY)-rang(YX)\leq\left[\frac{n}{2}\right] \).

[Bogdan Cebere]

Nu reusesc sa-mi dau seama cand are loc egalitatea... Poate cineva sa posteze un exemplu?

[Beniamin Bogosel]

Presupunem contrariul. Deci exista \( X, Y \in \mathcal M_n(\mathbb{C}) \) cu \( rang(XY)-rang(YX)>\left[\frac{n}{2}\right] \).
Cum rangul unei matrici e numar natural rezulta ca \( rang(XY)-rang(YX)\geq \left[\frac{n}{2}\right]+1>\frac{n}{2}\ (1) \)

Folosim acum inegalitatea lui Sylvester:

\( rang(YX)\geq rang(Y)+rang(X)-n\ (2) \)
(1)+(2)\( \Rightarrow rang(XY)>rang(X)+rang(Y)-\frac{n}{2}\ (3) \)

Acum folosim \( rang(XY)\leq min\{rang(X),rang(Y)\} \), care combinata cu (3) da \( rang(X)<\frac{n}{2},\ rang(Y)<\frac{n}{2} \) de unde
\( rang(XY)<\frac{n}{2},\ rang(YX)<\frac{n}{2} \), ceea ce este in contradictie cu presupunerea.

Egalitatea nu am gasit-o inca, dar la olimpiada in 2004 se cerea un exemplu, asa ca este. O sa-l caut si o sa-l postez.

[Beniamin Bogosel]

Exemple pt egalitate:
Pt n=2:
\( A=\left(\matrix{1&0 \cr 0&0}\right) \)
\( B=\left(\matrix{0&1 \cr 0&0}\right) \)
Pt n=2k
\( A_{2k}=\left(\matrix{A&0&...&0 \cr 0&A&...&0 \cr \vdots & & \ddots \cr 0&0&...&A}\right) \) \( si B_{2k}=\left(\matrix{B&0&...&0 \cr 0&B&...&0 \cr \vdots & & \ddots \cr 0&0&...&B}\right) \)

Pt n=2k+1
\( A_{2k+1}=\begin{pmatrix}A_{2k}&0 \\ 0&0 \end{pmatrix} \) si \( B_{2k+1}=\begin{pmatrix}B_{2k}&1 \\ 0&0 \end{pmatrix} \)

Nu mi-au placut niciodata problemele cu exemple. Unele sunt tare artificiale daca nu ai mai vazut asa ceva. Cu toate astea, pentru a demonstra un caz de egalitate trebuie adesea folosite exemple, care nu sunt totdeauna simple.

[Beniamin Bogosel]

Iata si solutia autorului, care e mai scurta si directa
Presupunem \( rang(XY)\geq rang (YX) \)

\( rang(XY)-rang(YX) \leq rang(XY)\leq rang(X)\ (1) \)
\( rang(XY)-rang(YX) \leq rang(Y)+n-rang(X)-rang(Y) \) (rezulta din Sylvester si inegalitatea cu rangul produsului)\( \Rightarrow rang(XY)-rang(YX)\leq n-rang(X)\ (2) \)

Concluzia rezulta din (1)+(2)!