Doua teoreme de rigiditate si aplicatii

[Mihai Fulger]

1. Fie X varietate completa si Y, Z varietati. Probabil ca vrem totul ireductibil (Z nu conteaza de fapt).
Presupunem ca aplicatia algebrica \( f:X\times Y\to Z \) contracta o fibra de forma \( X\times\{y\} \). Atunci f le contracta pe toate, adica f factorizeaza prin proiectia \( \pi:X\times Y\to Y \).

2. Rezulta din prima, dar poate e mai usoara. Daca f contracta o X-fibra si o Y-fibra (se vede usor ca in acelasi punct din Z), atunci f e constanta.
Le-am luat din surse diferite, iar pentru a doua apar ipotezele X si Y ireductibile si Z separata. Pentru mine separarea apare in definitia varietatii, asa ca trebuie presupusa si pentru prima teorema. Observati ca nu cer ca si Y sa fie completa nici in a doua teorema.

Aplicatii:
O varietate algebrica care este grup algebric complet se numeste varietate abeliana.

a) Aratati ca o varietate abeliana este grup abelian.
b) Orice morfism de varietati abeliene (adica morfism intre varietatile algebrice respective, nici o presupunere despre structura de grup) este pana la o translatie un morfism de grupuri algebrice (adica si morfism de grupuri).

[Alexandru Chirvasitu]

Întâi aplicaţiile:

(a) Se consideră morfismul \( X\times X\to X \) dat de \( (x,y)\mapsto xyx^{-1}y^{-1} \). Contractă fibrele \( X\times\{1\} \) şi \( \{1\}\times X \) în identitate, deci aplicaţia trebuie să fie (conform problemei mai slabe (2)) identic egală cu identitatea lui \( X \).

(b) După o translaţie, se poate presupune că morfismul (pe care o să-l notez cu \( f:X\to Z \)) păstrează identităţile. Se consideră acum morfismul \( X\times X\to Y \) dat de \( (x,y)\mapsto f(x)f(y)f(xy)^{-1} \). Presupunerea că \( f \) conservă identităţile spune că fibrele \( X\times\{1\} \) şi \( \{1\}\times X \) sunt duse în identitatea lui \( Y \). Rezultă deci că morfismul construit e identic egal cu \( 1\in Y \), şi deci \( f \) respectă înmulţirea. Că păstrează şi inversul e o consecinţă a faptului că păstrează produsele şi identitatea.

Acum problema (1):

Să considerăm mulţimea \( S \) acelor puncte \( p\in Y \) pentru care fibra \( X\times\{p\} \) e contractată. Pe de o parte, e în mod evident mulţime închisă, din argumente topologice simple care nu au nimic de-a face cu geometria algebrică. Dacă arătăm că pe de altă parte mulţimea este deschisă, atunci am terminat: ştim din ipoteză că e nevidă întrucât conţine punctul \( y \), şi cum spaţiul topologic \( Y \) e ireductibil şi deci conex, \( S \) nu poate fi decât întreg \( Y \). Rămâne deci să demonstrăm că \( S \) e deschisă.

Fie acum un punct \( p\in S \) şi un deschis afin \( U\subset Z \) care conţine punctul \( f(x,p) \) (pentru orice \( x\in X \), prin însăşi definiţia mulţimii \( S \)). Afirm acum că deschisul \( V=f^{-1}(U) \) conţine o mulţime de forma \( X\times D \) cu \( D \) vecinătate deschisă a lui \( p\in Y \). Să presupunem contrariul. Atunci complementul \( F=X\times Y\setminus V \) este o mulţime închisă a lui \( Y \) a cărei imagine prin proiecţia a doua \( \pi:X\times Y\to Y \) nu conţine punctul \( p \), dar conţine puncte în orice vecinătate a lui. Asta înseamnă că \( \pi \) nu e aplicaţie închisă, ceea ce contrazice faptul că \( X \) e proprie peste corpul de bază \( k \) (aplicaţia canonică \( X\to\mbox{Spec}\ k \) e proprie, deci în particular universal închisă, adică aplicaţiile obţinute prin extensia bazei sunt toate închise; \( \pi \) nu e nimic altceva decât extensia bazei la \( Y \)). Am demonstrat deci afirmaţia făcută mai sus.

Acum să presupunem, cu notaţiile din paragraful precedent, că pentru un punct \( q\in D \) fibra \( X\times\{q\} \) are în imaginea sa prin \( f \) cel puţin două puncte diferite din \( U \). Cum \( U \) e afin, există o funcţie regulată pe \( U \) care are valori diferite în cele două puncte. Compunând cu incluziunea \( X=X\times\{q\}\to U \), obţinem o funcţie regulată neconstantă pe \( X \); din nou, lucru binecunoscut, asta contrazice faptul că \( X \) e proprie.