Conditie suficienta pentru o matrice astfel incat A^3=O_3

[Cezar Lupu]

Fie \( A, B\in M_{3}(\mathbb{R}) \) doua matrice astfel incat \( AB-BA=A \). Sa se arate ca \( A^{3}=O_{3} \).

[Cezar Lupu]

Cred ca e adevarat pentru matrice de marime arbitrara, nu doar pentru cele de marime 3.

Da, sigur este adevarata. Topicul acesta o spune destul de clar, zic eu. Insa as vrea sa semnalez ca exista si o solutie diferita pentru cazul particular \( n=3 \) care in opinia mea ar merge si la cazul \( n \).

Solutie.

Urmarim relatia Hamilton-Cayley pentru matrice de ordin 3, anume

\( A^3-\tr(A)A^2+\tr(A^{*})A-\det(A)I_{3}=O_{3} \).

Daca reusim sa demonstram ca \( \tr(A)=\det(A)=\tr(A^{*})=0 \) ar fi excelent.
In primul rand, avem \( \tr(AB-BA)=\tr(A) \), iar cum \( \tr(AB)=\tr(BA) \) avem ca \( \tr(A)=0 \).
Acum, sa presupunem prin reducere la absurd, ca \( A \) este nesingulara. Inmultind (la stanga, de exemplu) relatia \( AB-BA=A \) cu \( A^{-1} \), vom obtine ca
\( A^{-1}AB-A^{-1}BA=A^{-1}A=I_{n} \). Trecand, din nou, la urma, si tinand cont de faptul ca \( \tr(A^{-1}BA)=\tr(B) \), vom avea ca
\( 0=\tr(B)-\tr(A^{-1}BA)=\tr(I_{n})=n \), contradictie.
Prin urmare, avem ca si \( \det(A)=0 \). Notam cu \( A^{*} \) adjuncta sau matricea reciproca a matricei \( A \). Se stie ca are loc relatia
\( 2\tr(A^{*})=\tr^{2}(A)-\tr(A^{2}) \). Cum am demonstrat ca \( \tr(A)=0 \), ne mai trebuie sa aratam ca \( \tr(A^{2})=0 \) si problema se incheie.
Intr-adevar, din relatia din ipoteza avem ca \( AB-BA=A \). Inmultind relatia cu \( A \) (la stanga, de exemplu), vom avea ca \( A^{2}B-ABA=A^2 \) sau \( AAB-ABA=A^2 \). Trecand la urma si tinand cont de faptul ca
\( \tr(AAB)=\tr(ABA) \) (am aplicat proprietatea cunoscuta \( \tr(XY)=\tr(YX) \) pentru \( X=A \) si \( Y=AB \)), vom avea ca \( \tr(A^{2})=0 \). Conform cu relatia Hamilton-Cayley pentru matrice de ordin \( 3 \), rezulta \( A^3=O_{3}. \) \( \qed \)

[Beniamin Bogosel]

Evident ca \( \det A=0 \) pentru ca altfel ajungem la aceeasi contradictie
\( 0=\tr(B)-\tr(A^{-1}BA)=\tr(I_n)=n \).
Daca \( A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \) atunci
\( \tr(A^k)=\tr(A^{k-1}AB)-\tr(A^{k-1}BA)=\tr(A^kB)-\tr(BA^k)=0,\ \forall k\geq 1 \). Atunci dintr-o problema postata pe forum (am postat o solutie si la acea problema) rezulta ca \( A^n=O_n \).