Subgrup al unui grup cu 2p elemente, p numar prim

[Beniamin Bogosel]

Fie \( G \) un grup cu \( 2p \) elemente, unde \( p \) este numar prim. Demonstrati ca \( H=\{uv|u,v \in G \text{ cu } u^2=v^2=e\} \) este subgrup comutativ al lui \( G \).

Ioan Baetu, GM 3/1994

[Alin Galatan]

Consider concluzia gresita: E posibil ca H sa nu fie comutativ.
Spre exemplu, pentru \( G=D_3 \) (grupul diedral ce invariaza triunghiul echilateral), \( H=D_3 \).
Mai mult, daca G e necomutativ, intotdeauna \( H=G \).
Daca p = 2, e gata.
Daca p > 2.
Daca G are un element de ordin 2p, atunci problema e clara.
Daca nu, din teorema lui Cauchy, avem un element x de ordin p si un y de ordin 2.
De asemenea, \( <x> \) are indice 2 in G, deci e normal. Putem deci vorbi despre \( G/<x> \), care e evident izomorf cu \( \mathbb{Z}_2 \).
Fie \( \hat{u} \) elementul diferit de elementul neutru din \( G/<x> \).
Avem \( G=\{e,x,x^2,...,x^{p-1},y, yx, yx^2,...,yx^{p-1}\} \).
E clar ca \( \hat{yx^i}=\hat{u} \).
Daca \( yx^i \) ar avea ordin p in G, ar inseamna ca \( \hat{u}^p=e \). Dar \( \hat{u}^2=e \), deci \( \hat{u}=e \), ceea ce inseamna ca \( yx^i\in <x> \), absurd. Deci \( yx^i \) au toate ordin 2. Mai mult, acestea sunt toate elemente de ordin 2.
Deci \( H=\{uv| u = e \) sau \( u = yx^i, v = e \) sau \( v=yx^i, i\in\{0,1,...,p-1\}\} \).
Sa aratam ca \( H=G \).
Pentru \( u=e,v=yx^i \), obtinem \( y<x>\subset H \).
Pentru \( u=y,v=yx^j \), avem \( uv=x^j \), deci \( <x>\subset G \).
In concluzie, \( H\subset G\Rightarrow H=G \).

[bae]

Grupurile cu \( 2p \) elemente, \( p \) numar prim, sunt izomorfe cu \( \mathbb{Z}_{2p} \) sau cu \( D_p \) (grupul diedral de grad \( p \)). De aici rezulta in mod clar cine este \( H \) in fiecare caz in parte.